Probablemente ya conocen las ventajas de pensamiento de la homología como ser un functor de $X$. Al permitir que un grupo abelian $G$ como coeficientes, se convierte en un functor de dos variables, el espacio de $X$ y el grupo de $G$. Ahora usted puede aprovechar la $G$-functoriality así.
Por ejemplo, la breve secuencia exacta de los grupos
$$0 \to \mathbb Z \to \mathbb Z \to \mathbb Z/p\mathbb Z \to 0$$
(la segunda flecha es mult. por $p$) da lugar a la corta exacta
secuencia de cohomology grupos
$$0 \H^i(X,\mathbb Z)/p H^i(X,\mathbb Z) \H^i(X,\mathbb Z/p\mathbb Z) \p\text{-torsión subgrupo de } H^{i+1}(X,\mathbb Z)
\a 0.$$
(Aquí me he cambiado de homología a cohomology, ya que me parece que este último un
poco más fácil que pensar, y más fácil para el estado de este tipo de resultados.)
Para el estudio de cohomology con coefficiens en $\mathbb Z/p\mathbb Z$ está estrechamente
relacionados con el estudio de la torsión en cohomology con $\mathbb Z$-de los coeficientes. Si $p$ es una prima (que es el caso que me estaba imaginando, aunque la anterior es válida
para cualquier entero$p$), $\mathbb Z/p\mathbb Z$ es un campo, y para que podamos investigar torsión en cohomology mediante el estudio de cohomology con coeficientes en un (finito) de campo. La investigación de este último tiene ventajas técnicas, por ejemplo, la dualidad de Poincaré si $X$ es un colector.
El pensamiento de cohomology como un functor de $G$ $X$ lleva a la idea de
de gavilla cohomology (una gavilla de abelian grupos es algo así como un grupo abelian que puede variar de punto a punto sobre $X$). La posibilidad de tomar $G$ a ser un no-constante gavilla aumenta considerablemente la flexibilidad de cohomology como una herramienta.
Otro ejemplo de la utilidad de los coeficientes:
Si $E \to B$ es una fibra de un paquete con fibra de $F$, e $B$ está conectado y simplemente conexa, entonces
hay una secuencia espectral (el Leray espectral de la secuencia) $$
E_2^{i,j} := H^i(B,H^j(F,G) ) \implica que H^{i+j}(E,G),$$
relacionadas con la cohomology de la base y fibra para que el espacio total.
Tenga en cuenta que incluso si tomamos $G$$\mathbb Z$, el cohomology de la
base de los coeficientes en el cohomology grupos $H^j(F,\mathbb Z)$, lo que
es probable que no sólo igual a $\mathbb Z$.
Si $B$ no es simplemente conexa, entonces hay una espectrales similares secuencia,
pero los coeficientes son localmente constante, pero normalmente no constante,
gavilla en $B$.
