Medios esféricos (Kirchoff ' fórmula de s) para la ecuación de onda de velocidad variable

Question

Supongamos que

$$ \begin{cases}u_{tt} - \Delta u = 0 \quad \textrm{ in } \mathbb R \times \mathbb R^n \\ u(0,x) = f(x); \quad u_t(0,x)= g(x). \end{casos} $$

entonces, dependiendo de la dimensión de $n$, tenemos una fórmula para $u$ en términos de$f$$g$;$n = 3$, por ejemplo,

$$ u(t,x) = C\int_{\parcial B(x,t)} tg(y) + f(y) + Df(y)\cdot(y-x) \, dS(y) $$

y para $n = 2$ $$ u(t,x) = C\int_{B(x,t)} \frac{t^2 g(y) + tf(y) + tDf(y)\cdot(y-x)}{\left(t^2 - |y-x|^2\right)^{1/2}} \, dy $$

(véase, por ejemplo, Evans PDE, p. 72).

En el caso de la ecuación de onda es

$$ \begin{cases}u_{tt} - c^2(x) \Delta u = 0 \quad \textrm{ in } \mathbb R \times \mathbb R^n \\ u(0,x) = f(x); \quad u_t(0,x)= g(x). \end{casos} $$ o $$ \begin{cases}u_{tt} - \nabla\cdot(c^2(x)\nabla u) = 0 \quad \textrm{ in } \mathbb R \times \mathbb R^n \\ u(0,x) = f(x); \quad u_t(0,x)= g(x). \end{casos} $$

son correspondientes fórmulas (véase esta cuestión). (EDIT: y para ser concretos, vamos a considerar la divergencia en la forma de la ecuación (el segundo))

Como la contestadora en que la cuestión de las notas, la forma completa de la integral es difícil de calcular, pero no estoy demasiado preocupado por el pleno de detalles, más que nada por el signo de los coeficientes en la fórmula en el caso de que el desplazamiento inicial es $0$.

Específicamente, estoy interesada sobre todo en el caso de que $f \equiv 0$, y aún más, sólo quiero saber cómo la no-negatividad (o no-positivismo) de $g$ influye el signo de $u$; por ejemplo, en el ejemplo anterior, si $f \equiv 0$ $g \geq 0$ todos los $x$, $u(t,x) \geq 0$ todos los $t \geq 0$.

Entonces, mi pregunta es:

¿hay alguna razón para esperar, para un general $c(x)$, que los coeficientes de $f$ $g$ (o $g$) en el Kirchoff fórmula son no-negativa o no positiva?

Recursos (más allá de la mencionada en la otra pregunta) también sería muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Valor no positivo de los coeficientes de $f$ o $g$?

Claramente imposible. Dado positivo inicial de la posición o de la velocidad, la solución será positivo en algún lugar, por algún período de tiempo.

No negativo del coeficiente de $f$?

Falla en todas las dimensiones de la $n\ge 2$ constante $c$. Lugar positiva golpe función de $f$ cerca de $0$, y se centran en el valor de $u(x,t)$ fijo $x$ lejos de la protuberancia. El Kirchhoff fórmula para $u(x,t)$ implica algunos derivados de una cierta integral promedio de $f$. Este promedio es cero para las pequeñas $t$, y tiende a cero de nuevo como $t\to\infty$ (en dimensiones impares, se convierte en cero de nuevo). Así que la derivada de esta media (de cualquier orden) cambia de signo, y así se $u(x,t)$.

El caso de $n=1$ es diferente porque no derivado de la media de $f$ se ha tomado.

No negativo del coeficiente de $g$?

Falla en todas las dimensiones de la $n\ge 4$ constante $c$: el mismo razonamiento que en el apartado anterior. Los casos de $n\le 3$ son diferentes porque no derivado de la media de $g$ se ha tomado.

variable $c$?

Para la variable $c$, nonnegativity de los coeficientes de falla en todas las dimensiones. La razón es que por una fuerte variación $c$, uno puede emular las condiciones de contorno, el rebote de la onda de nuevo. Puede que desee buscar "fuerte/sharp gradiente de densidad" en conjunción con "la propagación de la onda/reflexión". Ofrezco la siguiente ilustración en $n=1$: una cuerda elástica tiene una densidad de 1 g/cm en el intervalo de $(-1,1)$ pero algo como $10^3$ kg/cm fuera de ella. Usted perfora la cadena de cerca de $0$, poniendo en movimiento (originalmente, en la dirección positiva). Pero el impulso que dio a la cadena no es suficiente para mover su parte densa por cualquier cantidad apreciable. Lo que sucede: la solución en $(-1,1)$ es prácticamente el mismo que para la cuerda con extremos fijos en $\pm 1$. Lo que significa que va a tomar valores positivos y negativos, siendo una suma de armónicos.

Acusado gradiente de densidad inhibe la transferencia de energía. Cuando dos bolas de billar, de similar densidad chocan, gran parte de la energía que se intercambia. Pero golpear un balón parado de masa 1000 kg con una bola de masa 10 g de no transferencia de cantidad de energía a la bola más grande. En la onda de ejemplo, en la energía que en su mayoría se quedan en la baja densidad de la región (cualquiera que sea el número de dimensiones): todo lo que puede hacer es convertir cinética a potencial y, a continuación, de nuevo, por lo tanto, su comportamiento oscilatorio y cambios de signo.

Yo no quiero calcular una explícita contraejemplo con variable coeficiente; si no estás convencido, ejecutar un experimento numérico.