Con Taylor ' s teorema al mostrar que $\ln(1 + x^2) \leq x^2$

Question

¿Podemos mostrar eso si $\operatorname{abs}(x) \lt 1$ y $$\ln(1+x^2) \leq x^2\;,$ $ aplicando el teorema de Taylor?

Estoy pensando en ampliar sobre $x=0$ pero tengo algo así como $$f(x) = -x^2 + \frac{x^4}{2} - \dots$ $

¿Es correcto mi planteamiento? ¿Me podría dar algunos consejos/guías?

Gracias.

Answer 1

$$\begin{array}{rcl} \ln(1 + x^2) & \le & x^2 \\ e^{\ln(1 + x^2)} & \le & e^{x^2} \\ 1 + x^2 & \le & e^{x^2} \\ 1 + x^2 & \le & 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \dots \\ {} 0 & \le & \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \frac{x^8}{4!} + \dots \\ {} \end{matriz} $$

Que es cierto para todos % real $x$.

Answer 2

Sí, pero es una molestia para el uso de la expansión de Taylor de $\log(1+x^2)$. En su lugar, deje $t=x^2$, y mira lo que la expansión de Taylor de $\log(1+t)$ dice que no negativos $t$.

El uso de la forma de Lagrange del resto. El error al truncar la expansión de $f(t)$ en el término lineal es igual a $\frac{1}{2!}f''(\xi)t^2$ donde $\xi$ es un número entre el$0$$t$. Desde la segunda derivada en nuestro caso es negativo, truncando en el $t$ plazo nos da un error negativo plazo, lo que significa que el primer término $t$ sobrestima $\log(1+t)$.

O por el contrario, si usted está familiarizado con la alternancia de serie, usted puede conseguir el mismo resultado.

Hay un montón de otras formas de demostrar la desigualdad. Por ejemplo, supongamos $g(t)=\log(1+t)-t$. Tenemos $g(0)=0$, e $g'(t)=\frac{1}{1+t}-1$. Así, por $t\gt 0$, la función de $g(t)$ es decreciente, y por lo tanto $g(t)\lt 0$ si $t\gt 0$. Que muestra $\log(1+t)\lt t$ si $t\gt 0$.

Answer 3

Seguro.

$$\ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \ldots$$

En particular, los términos de la alternativa de firmar. Si restamos $x^2$, nos quedamos con

$$\ln(1 + x^2) - x^2 = -\frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + \ldots$$

El primer término de la suma es negativa, y ya que la suma es estrictamente una alternancia de suma cuyos términos ir a $0$ (desde $|x| < 1$), el error entre la suma de la primera $n$ términos y el valor real está limitada por la $n+1$st plazo. Aquí, sólo tenemos que tener en cuenta que el primer término es negativo y el segundo término es menor en valor absoluto - por lo tanto llegamos a la conclusión de que

$$\ln(1 + x^2) - x^2 \leq 0$$

con la igualdad sólo al $x = 0$.

Answer 4

As $1+t^2\ge 1$ $$\ln{\left(1+x^2\right)}=\int_{0}^{x}{\frac{2t}{1+t^2}dt}\le\int_{0}^{x}{\frac{2t}{1}dt}\le x^2$$