Son "si" y "iff" intercambiables en las definiciones?

Question

En algunos libros la palabra "si" se utiliza en las definiciones y no está claro si en realidad significa "iff" (he.e "si y sólo si"). Me gustaría saber si en matemáticas de la literatura en general "si" en las definiciones significa "iff".

Por ejemplo, yo estoy leyendo "Esencial topología" y la siguiente definición está escrito:

En un espacio topológico $T$, una colección de $B$ de subconjuntos abiertos de $T$ se dice para formar una base para la topología en $T$ si cada subconjunto abierto de $T$ puede ser escrito como una unión de conjuntos en $B$.

Debo asumir el conversar en tal caso? Debo suponer que, dada una base $B$ para un espacio topológico, cada conjunto abierto puede ser escrito como una unión de conjuntos en $B$?

Este es solo un ejemplo, no estoy preguntando específicamente sobre esta frase.

Answer 1

Como se trata de una definición, la validez de la propiedad (aquí "siendo una base para la topología") debe ser definido por el mismo en todos los casos. Así, implícitamente, todos los casos no se menciona no tiene la propiedad.

Este convenio es incluso más fuerte que el "si", que significa "iff" en las definiciones. Tome como ejemplo la definición de "un entero $p>1$ es llamado un número primo si no puede ser escrito como un producto de $p=ab$ de los enteros $a,b>1$". Esta dice que el $6$ es no un número primo, ya que $6=2\times 3$; este es un ejemplo de la "iff" significado de las definiciones. Pero también dice implícitamente que el $1$ no es un número primo, ni $-5$ ni $\pi$ ni $\exp(\pi\mathbf i/3)$ ni $\mathbf{GL}(3,\Bbb R)$, ya que ninguno de estos puede ser descrito como enteros $p>1$; incluso una declaración con "iff" en sí mismo no parece que el estado no primalidad de los objetos. Pero dado que es una definición, algo que no coincide con su descripción es implícitamente excluidos de la propiedad.

Sin esta implícita la exclusión de los casos no se menciona, sería realmente difícil dar una definición completa de cualquier tipo de propiedad. Imaginar (suponiendo que el "todo es un conjunto" de la filosofía), la fealdad de "un conjunto $x$ es llamado un número primo si $x\in\Bbb Z$$x>1$...".

Answer 2

Como otras señaló, el "sólo si" la parte no tendría ningún sentido como el proceso de definir el objeto aún no ha terminado en el momento de leer el "sólo si".

Pero si esto le molesta, siempre se puede reformular

Un objeto $A$ es dicho ser el nuevo plazo si $P(A)$.

por

Un nuevo término es un objeto $A$ tal que $P(A)$.

En tu ejemplo, la reformulación sería :

Una base $\mathcal B$ a de un espacio topológico $T$ es una colección de abrir conjuntos de $T$ de tal forma que cada conjunto abierto de $T$ es una unión de elementos de $\mathcal B$.

Answer 3

La más profunda punto aquí es que, independientemente de si se escribe "si" o "si y sólo si" en una definición, este no es el mismo que el significado usual de "si y sólo si" como un material de equivalencia. El material de la equivalencia de dos proposiciones es la afirmación de que cada uno de forma independiente tiene un valor de verdad, y la verdad los valores son los mismos.

En una definición como

un número natural $n$ es aún si y sólo si $n$ es un múltiplo de a $2$

no podemos leer el "si y sólo si" como un material de equivalencia, debido a que el lado izquierdo no tiene ningún valor de verdad hasta después de la definición que se hace. A la vista de esta definición como la expresión de una equivalencia de las dos declaraciones, necesitamos saber ya que cada lado de la instrucción de equivalencia ya tiene un valor de verdad, pero "$n$ es aún" es (trivialmente) indefinido antes de la definición se hace.

En lugar de expresar una equivalencia, una definición nos dice que el término definido, debe ser visto como un sinónimo de la definición: una definición expresa un "es" relación "es equivalente a" de la relación. Por ejemplo, si puedo demostrar que $8$ es incluso, no es necesario aplicar el modus ponens y la definición de un número a la conclusión de que la $8$ es un múltiplo de a $2$. En su lugar, yo directamente se puede "aplicar la definición de": demostrando que "$8$ es incluso" ya demuestra que los "$8$ es un múltiplo de a $2$", debido a que el citado frases son sinónimos el uno para el otro. También se podría decir que "$8$ es aún" es una abreviatura de "$8$ es un múltiplo de a $2$". A su vez, esta última frase es una abreviatura de "no es un número natural $m$$8=2m$".

En principio, uno puede eliminar todas las posteriores definiciones a partir de una axiomática de la teoría, de modo que al final uno se queda con sinónimos declaraciones que involucran sólo a los "términos indefinidos" de la teoría.

Por ejemplo, en la axiomática de Hilbert Euclidiana geometría del plano, sólo hay tres sin definir tipos de objetos: punto, rectas y planos. Cada instrucción, tales como "los tres ángulos de un triángulo equilátero son todos congruentes", es en realidad una abreviatura para un período mucho más largo declaración acerca de las líneas y puntos. Esto no es decir que la sentencia es equivalente a la no declaración acerca de las líneas y puntos. La declaración acerca de los ángulos no tiene ningún valor de verdad a todos en este marco axiomático, salvo en virtud de su definición.

Answer 4

Sí. Esta es una desafortunada convención sino que está firmemente establecido.

Answer 5

Mi interpretación habitual de esto es que el "sólo si" está implícito. Tomemos como ejemplo la frase "llamamos un gadget $A$ un widget si la propiedad $P$ mantiene para $A$", donde la frase es la definición de la palabra "widget". Porque lo que "inventó" la palabra widget, sólo puedan aplicar a los gadgets de la satisfacción de la propiedad $P$; cualquier gadget que no satisface esta propiedad (o nada) que no es un gadget) no puede ser un widget, por no decir que era.

Así, mientras que la declaración sólo se dio la instrucción "if", el hecho de que esta declaración es una definición que implica el "si" de la declaración. (Realmente no estoy afirmando haber dado una prueba de nada, sino simplemente algunos justificación de por qué la convención no es tan loco o desafortunada como podría parecer).