¿Por qué es malo escoger la base para un espacio vectorial?

Question

La lectura `de Esta Semana se Encuentra", http://math.ucr.edu/home/baez/week247.html, Estoy informado de que uno debe evitar el coger sistemas de coordenadas y estoy seguro de por qué ese es el caso. Cualquier ayuda al respecto se agradece.

Álgebra lineal es todo acerca de los espacios vectoriales lineales y mapas. Una de las lecciones que recibe inculcado en usted cuando usted en el estudio de este tema es que es bueno para evitar el coger las bases para sus espacios vectoriales hasta que los necesite. Es bueno tener la libertad de hacer transformaciones de coordenadas... y no solo mantenerlo en reserva, pero mantenerlo manifiesto!

Por qué?

Hay un simple ejemplo de cuando una elección de coordenadas hace una diferencia en el resultado? ---dando la razón a evitar.

Hermann Weyl escribió, "La introducción de un sistema de coordenadas de la geometría es un acto de violencia".

Por qué?

Buscar un poco en google me ha informado de que este problema es parte de la mayor noción de categórico connaturalidad...

Answer 1

Usted tiene una misión para averiguar cómo de fuerte sopla el viento en el pico de la montaña. Para subir a la cima, poner un aparato y se obtiene un resultado que sopla a 200 km/h en una dirección. A continuación, gire 90 grados en sentido horario y obtener registro de 80km/h. Usted termina con la imagen:

Usted sabe que el espacio de la tangente a la superficie de nuestro planeta es de 2 dimensional espacio vectorial. Así que usted elija coordenadas y escribir los resultados en sus coordenadas [200,80]. Usted está seguro de que es de todos los datos que se pueden recoger y volver a dar un informe. En la base, se dice que el viento sopla a 200 km/h en una dirección y a 80km/h en otras. Informe de receptores pide usted, además, cómo fueron orientados mientras tomo el primer registro. Pero usted no recuerdo. Por lo tanto su misión fracasa.

Conclusión

Mientras que el modelado del "mundo real" de las situaciones, con espacios vectoriales (en particular, $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$) debe ser consciente de que en realidad no es canónica/elección natural de coordenadas. En nuestra situación por la elección de las coordenadas, se supone que el espacio de la tangente ha canónica de coordenadas. Obviamente no. Simplemente ponte de pie sobre el suelo, mirar alrededor y ver si hay alguna.

Answer 2

Suponga que definir un concepto sobre espacios vectoriales mediante el uso de una base. Entonces, ¿qué te digo que este concepto sigue siendo pertinente con otra base ? En general, cuando un matemático utiliza este método, debe probar que su concepto no depende de la base, que puede no ser difícil pero molesto.

Por lo tanto, generalmente se prefiere, tiene propiedades que no dependen de la base o las coordenadas locales y que están directamente definido gracias al colector de espacio vectorial.

Answer 3

Realmente el autor está tratando de transmitir la idea de que usted debe deshacerse de la idea de que x,y,z son exclusivamente los miembros de el sistema de coordenadas Cartesianas cuando se hace de álgebra lineal. Él quiere que usted sea abierto a la idea de que lo que usted podría estar trabajando con pueden tener algún tipo de base que es irregular, de lo que has enseñado a ti mismo a pensar de espacio vectorial.

Lo que acabo de decir es una simplificación excesiva y puede leer más de lo que el autor está tratando de transmitir aquí, https://golem.ph.utexas.edu/category/2008/12/groupoidification_made_easy.html y aquí https://en.wikipedia.org/wiki/Groupoid