Definición del hamiltoniano mediante la transformada de Legendre.

Question

En mi libro de mecánica clásica ( Métodos matemáticos de la mecánica clásica de V.I. Arnold), el hamiltoniano se introduce de esta manera (traducción mía):

Consideremos el sistema de ecuaciones $\dot p = \partial L /\partial \dot q$ ( $p\in \mathbb R^n$ , $q\in \mathbb R ^n$ el segundo miembro es el gradiente de la lagrangiana con respecto a $\dot q$ ), definido por un Lagrangiano que supondremos convexo respecto al segundo argumento $\dot q$ .

[...]

Por definición, la transformada de Legendre en $\dot q$ de $L(q,\dot q ,t)$ es una función $H(p)=p\dot q-L(\dot q)$ donde $\dot q$ viene dada por la relación $$p=\dfrac{\partial L}{\partial \dot q}.$$

Ahora, mi definición de la transformada de Legendre de una función $f:\mathbb R ^n \to \mathbb R $ es: $$g(p)=\sup _{x\in \mathbb R^n} (\langle p,x\rangle-f(x)).$$ Veo que la definición citada coincide con la mía si, por ejemplo, suponemos que $f$ es una forma cuadrática $$f(x)=x^T A x,$$ para una matriz simétrica definida positiva. En el caso general de una matriz $f$ (que, para aclarar, aquí significa "matriz hessiana positiva definida"), sin embargo, no veo cómo se nos concede eso:

1. El máximo se alcanza en un punto $x\in \mathbb R ^n$ (al menos deberíamos exigir que $f$ es coercitivo ¿verdad? Contraejemplo: $f(x)=-\ln x$ )
2. La ecuación $p=\partial f / \partial x$ tiene una solución única.

¿Cuáles son las condiciones suficientes (o quizá necesarias y suficientes) para que las fórmulas anteriores definan correctamente una función que coincida con la transformada de Legendre de $L$ ?

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He hecho algunos progresos:

Supongamos que $f:\mathbb R ^n \to \mathbb R$ tiene una matriz hessiana definida positiva $f''(x)$ para todos $x$ . Supongamos también que $$\lim _{|x|\to \infty } \frac{f(x)}{|x|} = \infty .$$ A continuación, la transformación $f^*$ existe y viene dada por $$f^*(p)=\left\langle p,\xi (p)\right\rangle-f(\xi (p)),$$ donde $\xi$ es la inversa de $f'$ .

De hecho, si se cumple el límite, se puede ver fácilmente que $G_p (x) = f(x)-\left\langle x,p\right\rangle$ es coercitivo y admite un mínimo en $\mathbb R ^n$ que corresponde a $-f^*(p)$ . En este punto, la derivada desaparece, por lo que $f'(x)=p$ (esto también demuestra que $f'$ es suryectiva). Por último, dado que $f''>0$ , $f'$ es inyectiva y tiene un inverso $\xi$ y la transformada de Legendre es como se ha dicho anteriormente.

Answer 1

De tus ejemplos se desprende que el supremum podría no existir.

Sin embargo, la solución de la ecuación $\frac{\partial L}{\partial \dot q} = p$ si existe, es único. Dado que el hessiano de $L(x,y)$ con respecto a $y$ es definida positiva, lo que significa que $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , $t\mapsto L(x,y_0+t(y_1-y_0))$ satisface $f''>0$ siempre que $y_0 \ne y_1$ . Esto significa que $f'(y_0) \ne f'(y_1)$ y $f'(y) = (y_1-y_0) \cdot \frac{\partial L}{\partial y}$ Por lo tanto $\frac{\partial L}{\partial y}(x,y_0) \ne \frac{\partial L}{\partial y}(x,y_1)$ .

Has demostrado que la coercitividad implica existencia. Lo que queda es lo contrario.

Como el hessiano es definido positivo, por el teorema de la función implícita, el mapa $y \mapsto \frac{\partial L}{\partial x}(x,y)$ es localmente invertible con una inversa local continua. Como el mapa es inyectivo, es un mapa continuo de $\mathbb R^n$ en su imagen.

Por ahora, escriba $G(y) = \frac{\partial L}{\partial x}(x,y)$

Elige $M > 0$ . Entonces para cada $z \in \mathbb R^n$ con $|z|\le M$ existe un único $y_z$ tal que $G(y_z) = z$ . El mapa $z \mapsto y_z$ está bien definida y es continua. Por lo tanto $\sup_{|z|=1} |y_z| = N$ existe. Ahora $G^{-1}(\{|z|\le M\}$ es compacta y, por tanto, acotada. Por lo tanto $G^{-1}(\{|z|>M\}$ no tiene límites. Por lo tanto, si $|y|>N$ entonces $|G(y)| \ge M$ .

Supongamos ahora que $|y| > N$ . Crear una trayectoria a lo largo de la ODE $\eta(0) = y$ , $\eta'(t) = G(\eta(t))/|G(\eta(t))|$ . Sea $T = \inf\{t:|G(\eta(t))| = M$ (y no pasa nada si $T = \infty\}$ pero no lo hará). A continuación, $T \ge |y|-N$ . Entonces se observa que $L(x,y) \ge L(x,\eta(T)) + T M \ge T M + \inf_{\xi} L(x,\xi)$ . Por lo tanto, si $|y|$ es lo suficientemente grande, el $L(x,y) \ge \frac12M |y|$ . Así que $L(x,y)$ es coercitivo en $y$ .

Es un argumento complicado. Quizá haya algo más sencillo.