Que $L$ ser una álgebra de mentira. Tengo probar si $L$ es una simple mentira álgebra toda forma asociativa bilineal (por ejemplo $([x,y],z)= (x,[y,z])$ para todos $x,y,z \in L$) es un múltiplo de la forma de matar.
Respuesta
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La prueba a continuación se basa en la siguiente afirmación que es válida (al menos) para espacios lineales $V$ sobre los campos de la característica $0$:
Si $(\cdot,\cdot)_1$ $(\cdot,\cdot)_2$ es no-degenerado formas bilineales en $V$, entonces hay un lineal autormorphism $P\colon V\to V$ tal que $$(v,w)_1=(Pv,w)_2,$$ para todos los $v,w\in V$.
Además, también vamos a utilizar (consecuencia de) la Schur el Lema:
Si $\rho\colon L\to\mathfrak{gl}(V)$ es una representación irreducible de la Mentira Álgebra $L$ (más de un algebraicamente cerrado campo de la característica $0$) y $P\in\mathrm{GL}(V)$ es tal que $$P\circ\rho(X) = \rho(X)\circ P,$$ para cada $X\in L$, $P=\lambda I$ (donde $I$ es la función identidad) para algunos escalares $\lambda$.
Voy a suponer (como solemos hacer cuando hablamos de Matar a su forma) $L$ es una simple Mentira álgebra a través de una algebraicamente cerrado campo de la característica $0$. Ahora empezamos la prueba de la declaración:
Cada bilineal y la forma asociativa $(\cdot,\cdot)$ $L$ es un múltiplo de la Matanza forma$\langle\cdot,\cdot\rangle$$L$.
En primer lugar, debemos señalar que $$L^\perp:=\{X\in L\colon (X,Y)=0\text{ for all }Y\in L\}$$ es un ideal de a $L$. De hecho, dada $X\in L^\perp$$Y\in L$, tenemos que $$([X,Y],Z)=(X,[Y,Z])=0,$$ para cada $Z\in L$, y, por lo tanto, $[X,Y]\in L^\perp$.
Así, desde la $L$ es simple, $L^\perp=L$ o $0$. En el primer caso, ya podemos obtener el resultado porque $L^\perp=L$ implica que el $(\cdot,\cdot)=0$. Así, en lo que sigue, vamos a suponer que $L^\perp=0$. Esto significa, que el $(\cdot,\cdot)$ es no degenerado.
Las formas bilineales $(\cdot,\cdot)$ $\langle\cdot,\cdot\rangle$ es no-degenerado (por el Cartan del Criterio de semisimplicity) en $L$. Por lo tanto, vamos a $P\in\mathrm{GL}(L)$ ser tal que $$(X,Y)=\langle P X,Y\rangle,$$ para cada $X$$Y\in L$.
A continuación, vamos a mostrar que $$P\circ\mathrm{ad}(X)\circ P^{-1} =\mathrm{ad}(X),$$ para todos los $X\in L$. Entonces, podemos concluir, a partir de Schur del Lema, que $P=\lambda I$, para algunos escalares $\lambda$ y, de donde, $$(X,Y)=\langle P X,Y\rangle = \lambda\langle X,Y\rangle,$$ para cada $X$$Y\in L$. Por tanto, y dado $X\in L$, tenemos, para cada $Y$$Z\in L$, que $$\begin{array}{rcl} \langle P\circ\mathrm{ad}(X)\circ P^{-1}Y,Z\rangle & = & ([X,P^{-1}Y],Z) \\ & = & -([P^{-1}Y,X],Z) \\ & = & -(P^{-1}Y,[X,Z]) \\ & = & -\langle Y,[X,Z]\rangle \\ & = & -\langle [Y,X],Z\rangle \\ & = & \langle\mathrm{ad}(X)Y,Z\rangle. \end{array}$$ Por lo tanto, desde el Asesinato formulario en $L$ es no-degenerado, tenemos que $P\circ\mathrm{ad}(X)\circ P^{-1} =\mathrm{ad}(X)$, para todos los $X\in L$.
