Probabilidad de que un elemento pertenece a un subconjunto infinito de un conjunto

Question

$\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}$ Estudiaba $\Sym(\mathbb{N})$, el conjunto formado por todos los bijections de $\mathbb{N}$ a sí mismo. Ya que es un grupo, el concepto de "período de un elemento" tiene un sentido, y es el menor entero positivo $n$ tal que $f^n = e$ donde $f$ es uno de esos bijections y $e$ es la identidad de un grupo (la función identidad).

Yo estaba interesado en el subconjunto de todos los elementos del grupo que han período determinado de tiempo. Mi pregunta es: si puedo elegir aleatoriamente un elemento de $\Sym(\mathbb{N})$, hay una manera de saber... si es más probable conseguir un elemento de infinito período, o de un elemento de período finito? El problema es que, de acuerdo a los resultados que obtuve, tanto en $\Sym(\mathbb{N})$ y su subconjunto estoy interesado en son conjuntos infinitos que tiene la cardinalidad del continuo.

Estoy unawarely pidiendo un estúpido/pregunta imposible, o hay alguna herramientas matemáticas para saber lo que la probabilidad es?

Answer 1

Tal vez la parte más difícil de responder a esta pregunta es decidir si hay algo natural que significa el concepto de escogiendo al azar un elemento de este conjunto.

El conjunto en cuestión es uncountably infinito.

Bajo la mayoría de las habituales convenciones de la probabilidad, uno quiere una medida de probabilidad en algunos sigma-álgebra de subconjuntos del espacio en cuestión. Que sigma-álgebra se debe usar en este caso? Hay algunos naturales de la respuesta a esa pregunta. Debemos considerar el conjunto de todas las permutaciones que se asignan $3$ $8$(y otros similares) como un sub-basic conjunto abierto, y el conjunto de todas las uniones finitas de las intersecciones de estos conjuntos como abrir y, a continuación, buscar en los conjuntos de Borel en ese espacio topológico?

Después de eso, que la probabilidad de medir en el sigma-álgebra debemos asignar?

Lo que, por ejemplo, es la probabilidad de que $3$ se asigna a $8$? Si $\tau$ es un elegido al azar de permutación, entonces, ciertamente, $$ \sum_{n\in\mathbb N} \Pr(\tau(3)=n) = 1. $$ Pero las probabilidades de $\Pr(\tau(3)=n)$ $n\in\mathbb N$ se diferencian el uno del otro.

Tal vez hay un montón de interesantes distribuciones de probabilidad en este conjunto, al igual que en el sigma-álgebra de subconjuntos de Borel $\mathbb R$. Todos aprendemos acerca de la distribución normal, la distribución exponencial, etc., etc., etc.

Así que todavía hay mucho trabajo que hacer antes de tener una bien definida la pregunta matemática.