Ejemplos de grupos finitos generados por elementos $x$satisfacción $x^n = 1$

Question

Deje $G$ ser un grupo finito y $n > 1$ es un divisor de a $|G|$. Deje $P_n(G)$ ser el subgrupo de $G$ la cual es generada por todos los elementos que satisfacen $x^n = 1$. Desde $n > 1$, por Cauchy teorema tenemos $P_n(G) > 1$. También es fácil ver que $P_n(G)$ es una característica de los subgrupos de $G$. Por lo tanto, si $G$ es de naturaleza simple (es decir. producto directo de isomorfo simple grupos), a continuación, $P_n(G) = G$ para todos los $n > 1$, $n$ divisor de $|G|$ . Hay un montón de otros ejemplos en lo finito $p$-grupos, grupo diedro $D_8$ también tiene esta propiedad.

Mi pregunta: hay un grupo finito $G$ que no es característicamente simple o un $p$-grupo, pero para los que $P_n(G) = G$ para cada divisor $n > 1$$|G|$?

Answer 1

Yep. Aquí un par de ejemplos que poseen esta propiedad:

• El Valentiner grupo (triple cubierta de $A_6$), que tiene un centro de la orden de $3$.

• El interior de la automorphism grupo de $\mathbb{Z}_2\wr A_5$, que tiene una característica de los subgrupos de orden $16$.

• El Frattini extensión de $PSL(3,2)$$(\mathbb{Z}_2)^3$.

EDIT: hice algunos experimentos computacionales buscando un simple ejemplo y se encontró que el segundo grupo mencionado anteriormente es el más pequeño ejemplo de pedido que tiene esta propiedad (empatado con algún otro grupo sin nombre). Además, no sólo parecen ser $6$ grupos de orden menor que $2000$. Así que, supongo que estos son bastante infrecuentes.