Cómo encontrar $\lim_{x \to a}\frac{ a^nf(x)-x^nf(a)}{x-a}$

Question

¿f: $\mathbb {R} \to \mathbb{R}$ que es diferenciable en $x=a$ la estamos para evaluar lo siguiente:-$$\lim_{x\to a}\frac{a^nf(x)-x^nf(a)}{x-a}$ $ mi enfoque:-$$\frac{a^nf(x)-x^nf(a)}{x-a}=x^na^n\frac{\frac{f(x)}{x^n}-\frac{f(a)}{a^n}}{x-a}$$ Let $g(x)=\frac{f(x)}{x^n}$ y $$x^na^n\frac{\frac{f(x)}{x^n}-\frac{f(a)}{a^n}}{x-a}=x^na^n\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$ $ que $$\lim_{x \to a}x^na^n\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=(\lim_{x \to a}x^na^n)g'(a)=a^{2n} \frac{d}{dx}(f(x)/x^n)$de % $ $$=a^{2n}\left(\frac{x^nf'(x)-nx^{n-1}f(x)}{x^{2n}}\right)_{x=a}=a^nf'(a)-na^{n-1}f(a)$ $ es mi attemplt correcto?

Answer 1

La idea de regla del cociente es buena y se lleva a cabo muy bien. El único problema es que no funciona en el caso $a=0$. Pero que caso fácilmente se aborda por separado.

Un enfoque más sencillo es tener en cuenta %#% $ #%

Answer 2

Otra forma posible podría ser la expansión de Taylor alrededor de $x=a$ $$x^n=a^n+n a^{n-1} (x-a)+O\left((x-a)^2\right)$ $$$f(x)=f(a)+(x-a) f'(a)+O\left((x-a)^2\right)$$ Then $% $$a^n f(x)-x^nf(a)=(x-a) \left(a^n f'(a)-n a^{n-1}f(a)\right)+O\left((x-a)^2\right)$