Problema lógico de caballeros y truhanes

Question

De "Discrete mathematics and its applications", un libro de Kenneth H. Rosen, el capítulo 1.1, ejercicio 57, dice:

57. A dice "Soy un bribón o B es un caballero" y B no dice nada.

Los caballeros siempre dicen la verdad y los truhanes siempre mienten. Debemos determinar de qué tipo son A y B.

Suponiendo que,

p: A es un caballero

q: B es un caballero

¿Puedo llegar a la respuesta (proporcionada por el libro), que es "A es un caballero y B es un caballero" utilizando una tabla de verdad? Y si no, ¿cómo?

Answer 1

Ni siquiera tienes que usar una tabla de verdad. Si A dice que es un bribón o que B es un caballero, no puede ser un bribón porque si lo fuera, su afirmación sería verdadera, aunque los bribones siempre dicen mentiras. Ahora supongamos que A es un caballero. Entonces, como no es un caballero, la segunda parte de la afirmación, que B es un caballero, debe ser cierta. Por lo tanto, A y B son caballeros.

Answer 2

Sí, puedes hacerlo con una tabla de verdad de cuatro líneas. Para cada línea evaluar la verdad de $A$ 's statement based on whether each is a knight. A continuación, ver si la verdad de la declaración coincide con si $A$ miente o dice la verdad.

Answer 3

Una tabla de verdad ayudaría.

En esa tabla, hay cuatro posibles verdades; (i) A y B son caballeros, (ii) A es un caballero y B es un bribón, (iii) A es un bribón y B es un caballero, y (iv) A y B son bribones.

Procedamos a comprobar si (i) es verdadero o falso. Si tanto A como B son caballeros, entonces no se puede refutar la afirmación de A de que "o soy un bribón o B es un caballero".

A continuación, vamos a comprobar si (ii) es verdadero o falso. Si A es un caballero y B es un bribón, entonces la afirmación de A de que "o soy un bribón o B es un caballero" no puede ser cierta. Por hipótesis, A es un caballero y dice la verdad. Por lo tanto, A no es un bribón y la afirmación de A debe significar que B es un caballero. En la medida en que B es un caballero por hipótesis, tenemos una contradicción. Por lo tanto, la hipótesis de que A es un caballero y B es un bribón es falsa.

¿Puede continuar desde aquí?