Esto es realmente un hecho interesante. No tiene nada que ver con el campo algebraicamente cerrado: la idea es que si $K$ es un campo de caracteres $0$, entonces la trascendencia grado de $K$ $\mathbb{Q}$ es "definible" en $K[x]$.
Paso 1: $K$ es definible en $K[x]$.
Es el conjunto de unidades, además de a $0$.
Paso 2: En el polinomio anillo de $K[x]$, podemos definably evaluar polinomios sobre los elementos de la $K$.
Dado cualquier $f\in K[x]$ y $a,b\in K$, $f(a) = b$ si y sólo si $(x-a)\mid (f - b)$, y el último es un definibles por el estado.
Paso 3: Dado un definibles por el subcampo $k\subseteq K$, el sub-anillo $k[x]\subseteq K[x]$ es definible.
La idea aquí es que un polinomio $f(x)\in K[x]$ $k[x]$ si y sólo si para todos $a\in k$, $f(a)\in k$.
Ahora, la verdadera inteligente de trabajo que sucede.
Paso 4: Si $K$ es un campo de característica $0$, $\mathbb{N}$ es definible en $K[x]$.
Yo reclamo que $n\in K$ es un número natural si y sólo si para todos los $f\in K[x]\setminus K$, existe un elemento $g\in K[x]$ tal que $f\mid g$, y para todos los $c\in K$, $(f+c)\mid g$ implica $(f+c+1)\mid g$ o $c = n$. De hecho, si $n\in\mathbb{N}$, podemos tomar $g = f(f+1)\dots(f+n)$. Pero si $n\not\in\mathbb{N}$ $g$ la satisfacción de la declaración anterior habría una infinidad de distintos factores polinomiales ($f\mid g$, lo $f+1\mid g$, lo $f+2\mid g$, etc.), lo cual es imposible.
Esto ya es muy interesante/sorprendente, ya que muestra que $K[x]$ tiene una muy complicado teoría, incluso si $K$ es algebraicamente cerrado! Ahora bien, el hecho de que $\mathbb{Q}^{alg}[x] \not\equiv \mathbb{C}[x]$ debe ser menos intuitivo...
Paso 5: por lo tanto $\mathbb{Q}$ es definible en $K[x]$.
Paso 6: Dado $f_1,\dots,f_n \in K$, el subcampo $\mathbb{Q}(f_1,\dots,f_n)$ es definible (de manera uniforme y fijo $n$ en los parámetros de $f_1,\dots,f_n$).
Por inducción en $n$, con el Paso 5 como en el caso base. La idea es que basta para definir $R = \mathbb{Q}(f_1,\dots,f_n)[f_{n+1}]$, desde el campo deseado es el campo de cocientes de R. Para definir "$g\in R$", expresamos "no existe $h\in \mathbb{Q}(f_1,\dots,f_n)[x]$ tal que $h(f_{n+1}) = g$", lo que podemos hacer por los Pasos 2 y 3.
Paso 7: una frase de $\phi_n$ tal que $K[x]\models \phi_n$ si y sólo si $\text{tr.deg}_\mathbb{Q}(K)\leq n$.
Necesitamos expresar "no existe $n$ elementos $t_1,\dots,t_n\in K$ tal que para todo $a\in K$, $a$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}(t_1,\dots,t_n)$", y el último bit es equivalente a "no existe $f(x)\in \mathbb{Q}(t_1,\dots,t_n)[x]$ tal que $f(a) = 0$", lo que podemos expresar por los Pasos 2, 3 y 6.
Ahora las frases de la $\phi_n$ puede ser utilizado para distinguir polinomio anillos cuya base campos diferentes trascendencia grados. De hecho, para algebraicamente cerrado campos, esta es la única obstrucción.
Teorema: Si $K$ $L$ son algebraicamente cerrado campos de la característica $0$, $K[x]\equiv L[x]$ si y sólo si $\text{tr.deg}_\mathbb{Q}(K) = \text{tr.deg}_\mathbb{Q}(L) = n < \infty$ o ambos $K$ $L$ tienen trascendencia infinita grado.
Prueba: Si $K$ $L$ tienen el mismo finito trascendencia grado o ambos tienen trascendencia infinita grado, el uso de un ida y vuelta argumento para demostrar primaria de equivalencia. Si no, distinguir entre ellos el uso de la $\phi_n$.
Usted puede leer más detalles (y encontrar un montón de hechos a lo largo de líneas similares) en el "Modelo Teórico de Álgebra" por Jensen y Lenzing, páginas 36-38. (Búsqueda de libros de Google no me deja ver pp 36-37, pero yo era capaz de acceder a ellos a través de Amazon's "buscar en el interior de este libro" característica "de primaria de la equivalencia del polinomio anillos" y el desplazamiento de vuelta un par de páginas.)
Edit: acabo de notar que he sido un poco descuidado aquí. Paso 2 (y, por tanto, el Paso 3) se supone tenemos un nombre para $x$, y preferimos mostrar que $\mathbb{Q}^{alg}[x]\not\equiv\mathbb{C}[x]$ en la pura anillo de la lengua, sin $x$ llamado.
Para solucionar esto, aviso que no usamos los Pasos 2 y 3 en su forma completa en los Pasos 6 y 7, que sólo utiliza afirmaciones de la forma "existe un polinomio en $k(x)$ tal que $k(a) = b$", donde $k$ es definible subcampo.
Esta afirmación puede ser expresado sin un nombre para $x$ universalmente a la cuantificación de la $x$: $\forall (g\in K[x]\setminus K)\,\exists (f\in K[x])\,\forall (c\in k)\,\exists (d\in k)\, (g-c\mid f-d)\land (g-a\mid f-b)$.
La idea es que todo lo $g(x)$ es, $f(x)$ $\hat{f}(g(x))$ donde $\hat{f}$ es el polinomio con $\hat{f}(a) = b$. La primera conjunción expresa que $\hat{f}\in k(x)$ y el segundo expresa que $\hat{f}(a) = b$.
