Supongamos dado que$ \lim_{x \to 0}f(x)=1 \lim_{x \to 0}g(x)=\infty \lim_{x \to 0}g(x)(f(x)-1)=c $

Question

Supongamos que dado

ps

A continuación, busque el valor de$$ \lim_{x \to 0}f(x)=1 \\ \lim_{x \to 0}g(x)=\infty \\ \lim_{x \to 0}g(x)(f(x)-1)=c $

Así que esto es lo que he hecho. Por favor, compruebe si su enfoque correcto @Macavity$ \lim_{x \to 0} f(x)^{g(x)} $$$ f(x)^{g(x)} = e^{\log{f(x)^{g(x)}}} = e^{{g(x)\log f(x)}} $ (1) $

Ahora, desde la expansión de Taylor serie de$ $ Sustituto$\log(1+x)$ en$x$ en la serie de Taylor$f(x)-1 $$$\log f(x)= (f(x)-1) - \frac12(f(x)-1)^2 \cdots$ (2) $

De$ $ y$(1)$ Tomando sólo el primer término de la$(2)$ de expansión

ps

Es correcto este planteamiento?

Answer 1

Su enfoque es intuitivamente correcto. Sin embargo, un enfoque más simple con una justificación rigurosa de todos los pasos es la siguiente.

Deje$L = \lim_{x \to 0}f(x)^{g(x)}$ en lo que \begin{align}\log L &= \log\left(\lim_{x \to 0}f(x)^{g(x)}\right)\notag\\ &=\lim_{x \to 0}\log f(x)^{g(x)}\text{ (by continuity of log)}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}g(x)\log f(x)\notag\\ &= \lim_{x \to 0}g(x)\log \{1 + f(x) - 1\}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}g(x)(f(x) - 1)\dfrac{\log \{1 + f(x) - 1\}}{f(x) - 1}\notag\\ &= \lim_{x \to 0}g(x)(f(x) - 1)\cdot\lim_{t \to 0}\dfrac{\log (1 + t)}{t}\text{ (by putting }t = f(x) - 1)\notag\\ &= c\cdot 1 = c\end {align} y por lo tanto$L = e^{c}$. Hemos utilizado el límite estándar$$\lim_{t \to 0}\frac{\log(1 + t)}{t} = 1$$ Also note that the second condition $ \ lim_ {x \ a 0} g (x) = \ infty $ es innecesario, ya que se puede ver en la derivación anterior.