Existe un teorema de Pogorelov según el cual si un $C^2$ superficie $M$ en $\mathbb{R}^3$ es isométrica con respecto a la esfera 2 unitaria, entonces $M$ es en sí mismo (un movimiento rígido de) la esfera.
¿Qué se sabe sobre las deformaciones isométricas de la esfera, cuando se relaja la condición de suavidad?
En primer lugar, necesitamos alguna noción de isometría para superficies con singularidades. Intuitivamente, si tomo un trozo de papel y lo armo, el papel arrugado sigue siendo isométrico en un sentido más débil que la hoja plana original. En términos más generales, para cualquier superficie topológica incrustada en $\mathbb{R^3}$ La distancia más corta entre dos puntos puede seguir estando bien definida como el mínimo (posiblemente infinito) de las longitudes de arco de todas las curvas de la superficie que une los dos puntos. Una isometría es entonces cualquier homeomorfismo que preserva esta distancia.
¿Se sabe algo sobre las isometrías de la esfera, cuando no se requiere que la superficie permanezca $C^2$ ? Tal vez sea más fácil mirar las deformaciones isométricas - funciones continuas $f(s):\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ con $f(0)$ la identidad, y $f(s)$ una isometría de la esfera unitaria para todo $s$ .
Hay algunas deformaciones isométricas evidentes de la esfera, por ejemplo, cortar la esfera a lo largo de una latitud, invertir una pieza y volver a pegarla: $$f(s): (x,y,z)\mapsto (x,y, s-1+|z+1-s|)$$ y, por supuesto, esta deformación puede hacerse en cualquier punto de la esfera, no sólo en el polo sur, y a diferentes velocidades, generando una gran familia de deformaciones isométricas de la esfera.
¿Hay otros? ¿Se han clasificado las isometrías?
