¿Cómo es compatible el principio de acotación uniforme con esta secuencia convergente aparentemente débil?

Question

Al demostrar que $(x_i\rightharpoonup x)\not\Rightarrow(x_i\to x)$ o similares no correlativos, se suele utilizar el contraejemplo $$ (u_i)_{i\in\mathbb{N}}\in \ell^2\colon \quad u_i = (\underbrace{0,\ldots,0}_{i-1},1,0,\ldots) $$ Esto, si puedo confiar en mi profesor, es una secuencia convergente débil en $\ell^2$ porque está acotado ( Aparentemente me perdí esa parte, esta fue la causa de la confusión ) y para cada $\varphi_j=(0,\ldots,1,0,\ldots)$ existe un $N\in\mathbb{N}$ , a saber $N=j$ , tal que para cada $i>N$ , $$ \langle u_i, \varphi_j \rangle_{\ell^2} = 0 + \ldots + 0\cdot1 + 0 + \ldots + 1\cdot 0 + 0\ldots = 0 < \varepsilon $$ para todos $\varepsilon>0$ . Porque el $\varphi_j$ forman un sistema ortonormal completo en $\ell^2$ Esto es suficiente para $(u_i)_i$ para ser débilmente convergente.

El problema es ahora: considere la secuencia $$ (v_i)_{i\in\mathbb{N}}\in \ell^2\colon \quad v_i = (\underbrace{0,\ldots,0}_{i-1},i,0,\ldots). $$ Se podría demostrar que esto es débilmente convergente exactamente de la misma manera que acabo de hacer para $(u_i)_i$ pero por otro lado, $(v_i)_i$ es obviamente una secuencia no acotada y según el principio de acotación uniforme (que no entiendo muy bien) toda secuencia convergente débil está acotada.

Entonces, ¿qué es lo que está mal aquí?

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Pues bien, como las respuestas señalaban que era el requisito de $(u_i)$ que era necesario para utilizar sólo el $\varphi_j$ para mostrar una convergencia débil.

Answer 1

El argumento que atribuye a su profesor es incorrecto.

Supongamos que queremos mostrar una secuencia $(f_i)$ de vectores en $\ell^2$ (o cualquier espacio de Hilbert) es débilmente convergente a algún $f$ . Es no suficiente para demostrar que $$\langle f_i, \phi \rangle \to \langle f , \phi \rangle \quad \text{ as } i \to \infty \quad (*)$$ para todos $\phi$ en algún conjunto ortonormal completo. De hecho, su contraejemplo $v_i$ muestra que esto no es suficiente. Tampoco es suficiente demostrar que (*) es válido para todos los $\phi$ en algún conjunto denso.

Sin embargo, si uno sabe a priori que el conjunto $\{f_i\}$ es acotado en $\ell^2$ (es decir, existe $M$ con $||f_i|| \le M$ para todos $i$ ), entonces es suficiente para demostrar que (*) es válido para todos los $\phi$ en algún conjunto denso, o incluso para todos $\phi$ en algún conjunto cuya extensión lineal sea densa. Como, por ejemplo, un conjunto ortonormal completo. Demostrar esto es un buen ejercicio.

Se puede demostrar, utilizando una versión adecuada del principio de acotación uniforme, que incluso sin conocer $\{f_i\}$ está acotado, basta con comprobar que (*) se cumple para todo $\phi$ en algunos nonmeager conjunto. Sin embargo, no es tan fácil encontrar conjuntos no contables. (En particular, el tramo lineal de un conjunto contable es siempre exiguo).

Así que para dar una mejor prueba de que la secuencia $\{u_i\}$ converge débilmente (a 0), se podría primero Obsérvese que la secuencia está acotada en $\ell^2$ y luego comprobar que (*) se cumple para todas las $\varphi_j$ que describes (y no son los $u_i$ y $\varphi_j$ en realidad es lo mismo aquí). En realidad, mi prueba preferida es observar que $u_i$ es a su vez un conjunto ortonormal, por lo que para cualquier $\phi \in \ell^2$ tenemos $$\sum_i |\langle u_i , \phi \rangle|^2 \le ||\phi||^2 < \infty$$ por la desigualdad de Bessel. Dado que la suma converge debemos tener $\langle u_i , \phi \rangle \to 0$ .

Answer 2

Debo decir que no me gusta nada la forma en que redactas la prueba de tu profesor, ya que falta un ingrediente crucial (o bien ha sido un error garrafal por parte de tu profesor, o bien has olvidado algo). A saber: delimitación de la secuencia $(u_i)$ .

Primera retirada La desigualdad de Bessel : Para un sistema ortonormal $(u_{i})$ y todos $x \in H$ la desigualdad $$\sum_{i} |\langle x, u_{i} \rangle|^2 \leq \Vert x \Vert^2$$ retenciones. Esto implica que debemos tener $\langle x, u_i \rangle \to 0$ para todos $x$ y, por tanto, un sistema ortonormal converge débilmente a cero. (esta es mi forma preferida de demostrar que un sistema ortonormal converge débilmente a cero). Nótese también que un sistema ortonormal está acotado, ya que $\|u_{i}\| = 1$ .

Ahora se obtiene el siguiente resultado (que supongo que era al que se refería tu profesor):

Una secuencia $(u_{i})$ converge débilmente a cero si y sólo si es acotado y existe una base ortonormal $(\phi_{n})$ tal que $\langle u_{i}, \phi_{n} \rangle \to 0$ como $i \to \infty$ para todos $n$ .

De hecho, si $u_{i}$ converge débilmente a cero entonces la condición se cumple claramente para cualquier base ortonormal por la desigualdad de Bessel y la secuencia está acotada por el principio de acotación uniforme.

A la inversa, supongamos que $\Vert u_{i} \Vert \lt C$ para todos $i$ y suponer que existe una base ortonormal tal que $\langle u_{i}, \phi_{n} \rangle \to 0$ como $i \to \infty$ para todos $n$ . Arreglar $\varepsilon \gt 0$ . La desigualdad de Bessel nos dice que para cada $x \in H$ existe $N$ tal que $\langle x, \phi_{n} \rangle \leq \varepsilon$ para todos $n \geq N$ . Elija $i$ tan grande que $\langle \phi_{k}, u_{i} \rangle \leq \varepsilon$ para todos $k \lt N$ . Entonces podemos estimar $$|\langle u_{i}, x \rangle| = \left\vert \langle u_{i}, \sum_{n} \langle x_{i}, \phi_{n} \rangle \phi_{n} \rangle \right\vert\leq \sum_{k \lt N} \underbrace{|\langle u_{i}, \phi_{k}\rangle|}_{\leq \varepsilon}\, \underbrace{|\langle x, \phi_{k} \rangle|}_{\leq \|x\|} + \sum_{n \geq N} \underbrace{|\langle u_{i}, \phi_{n}\rangle|}_{\lt C}\, \underbrace{|\langle x, \phi_{n} \rangle|}_{\leq \varepsilon} $$ para que $|\langle u_{i}, x \rangle| \lt (\|x\| + C)\varepsilon$ para todo lo que sea suficientemente grande $i$ . Como $\varepsilon \gt 0$ era arbitrario esto significa que $|\langle u_{i}, x \rangle| \to 0$ para todos $x$ y por lo tanto $u_{i}$ converge débilmente a cero.

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Como señaló Luboš, su secuencia $(v_i)$ hace no convergen débilmente a cero. El criterio anterior no es aplicable, ya que su secuencia es no limitado. De hecho, es el ejemplo canónico que demuestra que asumir la acotación es realmente necesario en ese criterio.

Ya que ha dicho que el principio de delimitación uniforme sigue siendo un misterio para usted, no puedo hacer otra cosa que recomendarle el reciente artículo de Alan Sokal Una demostración elemental realmente sencilla del teorema de la acotación uniforme en el que da una prueba que se salva sin usar ningún truco de Baire.

Answer 3

Estimado leftaroundabout, su $v_i$ la secuencia no es débilmente convergente a cero. Tomemos su producto interior con $$ x = (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, \dots ) $$ para ver que este producto interno de $x$ con $v_i$ es realmente igual a uno en el infinito $i$ límite (y no cero como exige la convergencia débil a cero). Nótese que $x$ es $l^2$ sumable, porque $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ es convergente, es decir, que es un vector en el espacio de Hilbert.