Dos corolarios en Teoría Algebraica de Números de Lang.

Question

Estoy teniendo dificultad para la comprensión de la relación entre dos corolarios en Lang, la Teoría Algebraica de números, en la página 16 para aquellos con el libro. También se pueden encontrar en su Álgebra.

La primera es:

Deje $A$ ser un anillo integralmente cerrado en su cociente de campo $K.$ Deje $L$ ser un finita de Galois de la extensión de $K$ y deje $B$ ser la integral de cierre de $A$ $L.$ Deje $\mathfrak{p}$ ser un ideal maximal de a $A.$ Deje $\varphi:A\rightarrow A/\mathfrak{p}$ ser la canónica mapa, y deje $\psi_1,\psi_2$ dos homomorphisms de $B$ extender $\varphi$ en una clausura algebraica de $A/\mathfrak{p}.$, existe y automorphism $\sigma$ $L$ $K$ tal que $\psi_1=\psi_2\circ\sigma.$

El segundo, bajo los mismos supuestos:

Deje $\mathfrak{B}$ ser la única flor de la $B$ está por encima $\mathfrak{p}.$ Deje $f(X)$ ser un monic polinomio en $A[X].$ Asume que $f$ es irreducible en a $K[X]$ y que tiene una raíz $\alpha$$B.$, Entonces el polinomio reducido $\overline{f}$ es una potencia de un polinomio irreducible en $\overline{A}[X].$

Lang que se sigue desde el primer corolario de que cualquiera de las dos raíces de la $\overline{f}$ son conjugado en virtud de un isomorfismo de $\overline{B}$ $\overline{A},$ las reducciones mod el de los respectivos números primos. No estoy seguro de cómo esto se sigue inmediatamente. También, a mí me parece que esto podría deducirse del hecho de que el grupo de Galois de $L$ $K$ actúa transitivamente sobre las raíces de la $f,$ y bajo estos supuestos, todas esas asignaciones descender a las asignaciones de $\overline{B}$ $\overline{A}.$ Podría alguien ayudarme a ver si mi razonamiento es apagado, y también de explicar la relación entre estos dos corolarios? Si es útil, estos se derivan de la proposición de que la descomposición del grupo surjects en el grupo de Galois de $\overline{B}$ $\overline{A}.$

Answer 1

La proposición Deje $A$ integrante de dominio. Deje $K$ a ser el campo de fracciones de $A$. Deje $L$ ser una expresión algebraica(no necesariamente finita) la extensión de $K$. Deje $B$ ser la integral de cierre de $A$$L$. Deje $\mathfrak{p}$ ser un ideal maximal de a $A$. Deje $\bar A = A/\mathfrak{p}$. Suponga que $\mathfrak{P}$ es sólo el primer ideal de $B$ se encuentra por encima del $\mathfrak{p}$. Deje $f(X) \in A[X]$ ser un monic polinomio. Deje $\bar f(X) \in \bar A[X]$ ser la reducción de la $f(X)$ mod $\mathfrak{p}$. Suponga que $f(X)$ es irreducible en a $K[X]$ y tiene una raíz $\alpha$$B$. A continuación, $\bar f(X)$ es una potencia de un polinomio irreducible en $\bar A[X]$.

Prueba: Deje $\varphi$ ser la canónica homomorophism $A \rightarrow \bar A$. Deje $\Omega$ ser el algebraicas cierre de $\bar A$. Deje $\omega_1$ ser una raíz de $\bar f(X)$$\Omega$. Suponga $g(X) \in A[X]$$g(\alpha) = 0$. Desde $f(X)$ es irreducible en a $K[X]$ existe $h(X) \in K[X]$ tal que $g(X) = f(X)h(X)$. Desde $f(X)$ es monic, $h(X) \in A[X]$. Por lo tanto $\bar g(X) = \bar f(X) \bar h(X)$. Por lo tanto $\bar g(\omega_1) = 0$. Por lo tanto, no existe un homomorphism $\psi_1:A[\alpha] \rightarrow \Omega$ extender $\varphi$ tal que $\psi_1(\alpha) = \omega_1$. Deje $P_1$ ser el núcleo de $\psi_1$. Por la mentira-más de teorema, existe un primer ideal $Q_1$ $B$ se encuentra por encima del $P_1$. Por la asunción, $Q_1 = \mathfrak{P}$. Desde $B$ es integral $A$, $\mathfrak{P}$ es un ideal maximal y $B/\mathfrak{P}$ es algebraico sobre $\bar A$. Por lo tanto $B/\mathfrak{P}$ es isomorfo a un subcuerpo de $\Omega$. Por lo tanto $\psi_1$ puede ser extendida a una homomorphis $\Psi_1:B \rightarrow \Omega$.

Deje $\omega_2$ ser otra raíz de $\bar f(X)$$\Omega$. Por un argumento similar como en el anterior, existe una homomorphis $\Psi_2:B \rightarrow \Omega$ extender $\varphi$ tal que $\Psi_2(\alpha) = \omega_2$. Desde Ker($\Psi_1$) = Ker($\Psi_2$), existe un isomorfismo $\sigma:\Psi_1(B) \rightarrow \Psi_2(B)$ $\bar A$ tal que $\Psi_2 = \sigma\Psi_1$. Por lo tanto $\omega_1$ $\omega_2$ son conjugado $\bar A$. Por lo tanto $\bar f(X)$ es una potencia de un polinomio irreducible en $\bar A[X]$. QED