El máximo de $\binom{n}{x+1}-\binom{n}{x}$

Question

La siguiente pregunta proviene de un problema de la Olimpiada Americana. La razón por la que la publico aquí es que, aunque parece muy fácil, permite algunas soluciones diferentes y realmente interesantes. ¿Te animas a probar?

Dejemos que $n$ ser un millón. Encuentre el valor máximo alcanzado por $\binom{n}{x+1}-\binom{n}{x}$ , donde $0<x<n$ es un número entero.

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Edición: He visto las respuestas de abajo, y puedo decir que he publicado esta porque hay al menos una solución muy bonita, que no es tan "mecánica" :) El valor de $n$ no tiene ningún significado en particular, sólo representa un "número entero suficientemente grande"..

Answer 1

Dejemos que $$f(x)=\binom{n}{x+1}-\binom{n}{x},$$ entonces $$f(x)-f(x-1)=\frac{n!(4x^2-4nx+n^2-n-2)}{(x+1)!(n-x+1)!}$$

Las raíces de la cuadrática son $$\frac{n\pm\sqrt{n+2}}{2}$$

Por lo tanto, $f(x)>f(x-1)$ hasta $\frac{n-\sqrt{n+2}}{2}$ .

Para $$x>\frac{n+\sqrt{n+2}}{2}$$

está claro que $f(x)<0$ .

Así que el máximo $f(x)$ en $$x=\left\lfloor\frac{n-\sqrt{n+2}}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{1000000-\sqrt{1000002}}{2}\right\rfloor=499499$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \binom{n}{x+1}-\binom{n}{x} &=\left[\frac{n-x}{x+1}-1\right]\binom{n}{x}\\ &=\frac{n-2x-1}{x+1}\binom{n}{x}\tag{1} \end{align} $$ $(1)$ es positivo para $x\lt\frac{n-1}2$ y negativo para $x\gt\frac{n-1}2$ .

Además, $$ \begin{align} &\hphantom{}\left[\binom{n}{x+1}-\binom{n}{x}\right]-\left[\binom{n}{x}-\binom{n}{x-1}\right]\\ &=\left(\left[\frac{n-x}{x+1}-1\right]-\left[1-\frac{x}{n-x+1}\right]\right)\binom{n}{x}\\ &=\frac{4x^2-4nx+(n+1)(n-2)}{(x+1)(n-x+1)}\binom{n}{x}\tag{2} \end{align} $$ $(2)$ es $0$ cuando $x=\frac{n\pm\sqrt{n+2}}2$ . Si esto $x$ es un número entero, entonces $\binom{n}{x+1}-\binom{n}{x}=\binom{n}{x}-\binom{n}{x-1}$ . En caso contrario, el máximo se produce en algún punto entre $x$ y $x-1$ .

Así, el valor máximo de $(1)$ es donde $x=\left\lfloor\dfrac{n-\sqrt{n+2}}2\right\rfloor$ .

Para $n=1000000$ , $x=499499$ . $$ \binom{1000000}{499500}-\binom{1000000}{499499}=9.582658295\times10^{301023} $$ mientras que $$ \binom{1000000}{499499}-\binom{1000000}{499498}=9.582581749\times10^{301023} $$ y $$ \binom{1000000}{499501}-\binom{1000000}{499500}=9.582658257\times10^{301023} $$

Answer 3

$$t_x=\binom n{x+1}-\binom nx=\frac{(n-2x-1)}{(x+1)}\binom nx$$ $$\frac{t_x}{t_{x-1}}=\frac{n-x+1}{(x+1)(n-2x+1)(n-2x)}=z$$ Si $z\ge1$ : $$\frac{n-x+1}{(x+1)(n-2x+1)(n-2x)}\ge1\implies x\le z_0(\text{say})$$ Entonces el máximo se produce en : $$x=\lfloor z_0\rfloor$$