Aplicaciones del mundo real de Topología

Question

El otro día, mi amigo y yo estábamos discutiendo. Él decía que no existe ninguna aplicación real de la Topología en absoluto. Quiero demostrarle lo contrario, así que estoy publicando la pregunta aquí.

¿Cuáles son las diversas aplicaciones reales de la topología?

Answer 1

Descubre "Aislantes Topológicos", una invención que lleva la electrónica a una nueva fase.

https://es.wikipedia.org/wiki/Aislante_topológico

Answer 2

Robert Ghrist utiliza la topología algebraica para mejorar las redes de sensores y la robótica.

La teoría K retorcida se utiliza para clasificar las D-branas en la teoría de cuerdas.

Answer 3

De wikipatentes:

http://www.wikipatents.com/US-Patent-3991631/woven-endless-belt-of-a-spliceless-and-mobius-strip-construction ENLACE MUERTO

enlace de patents.com

Answer 4

Primero, donde quiera que haya una estructura con alguna noción de continuidad, generalmente hay una topología acechando en el fondo. No quieres probar los mismos teoremas una y otra vez en espacios métricos, variedades diferenciales, espacios vectoriales normados. Demasiados conjuntos en cada rama de las matemáticas 'automáticamente' vienen con una topología para ser ignorada.

Segundo, la continuidad es una noción tangible si alguna noción matemática lo es. ¿Qué puede ser más importante para la vida real que las curvas y otros mapas que son realmente continuos? En la mayoría de las situaciones tangibles, la continuidad es el primer criterio que una función es razonable. Considere espacios de configuración, por ejemplo: suponga que tiene un péndulo (1), con otro péndulo (2) enganchado a (1) en el extremo. El primer péndulo barre un círculo, y dado cada punto en ese círculo, el péndulo (2) barre otro círculo de forma independiente. El espacio de configuraciones es $\mathbb{T} \times \mathbb{T}$, el producto de dos círculos que forma un espacio topológico que se parece a un toro. Ahora, incluso antes de establecer ecuaciones diferenciales, etc... es inmediatamente obvio que el camino del sistema de péndulo debería ser continuo. Sorprendentemente, a menudo se puede probar mucho usando solo topología, incluso antes de comenzar a usar variedades y otra estructura (como la diferenciabilidad, etc).

Answer 5

Aunque realmente las dos primeras aplicaciones listadas a continuación son solo tangencialmente "topología" y más dinámicas (definitivamente también se intersectan con la probabilidad, la geometría, la teoría de la medida, entre otras cosas) pero busca lo siguiente si lo deseas:

(1) Teorema del collage, Compresión fractal: ingresa a World of Warcraft y mira a tu alrededor a los árboles y montañas si deseas ver ejemplos de fractales.

(2) Antenas fractales sobre antenas tradicionales.

(3) Homología Persistente (un refinamiento de la teoría de Morse en topología) ha demostrado ser muy viable para encontrar patrones en datos de grandes dimensiones. Piensa si solo tienes dos variables y mediciones con errores, a menudo es útil encontrar la mejor variedad de 1 dimensión (curva, jeje) de cierto tipo que se ajuste a los datos. Bueno, si tienes 10000 variables y un montón de datos, imagina entender la "forma" básica de una variedad de mejor ajuste ("buena forma") a los datos y esto es aproximadamente de lo que se trata. Como puedes imaginar, la solución podría involucrar geometría y topología... :)

(4) Como ya se mencionó arriba, problemas de planificación de movimiento: dado un robot, ¿cómo moverlo de un punto A a un punto B eficientemente sin derribar todo y/o caer de bruces? Piensa en cuánta coordinación tienen que tener los brazos y las piernas para bailar un ballet por ejemplo y piensa cómo programarías un robot para hacerlo. Rápidamente llegarás a la conclusión de que la geometría y la topología tienen algo que ver en esto.

(5) La comprensión geométrica del espacio-tiempo proporcionada por la relatividad general de Einstein es incluso aplicada como antes los relojes en los satélites GPS fueron corregidos por dichos efectos, la precisión de los GPS era menos que óptima.

(6) Usualmente la pregunta de "aplicaciones del mundo real" simplemente significa que la parte de matemáticas discutida no pertenece al lote de matemáticas que el interrogador usa todos los días. Con el tiempo, no creo que haya visto nada seguir "inútil" por mucho tiempo: la teoría de números se mantuvo "inútil" durante 2000 años hasta que las computadoras y la seguridad y la demanda de rápidas velocidades de algoritmos la hicieron repentinamente muy útil. Como alguien dijo una vez al discutir las matemáticas detrás de los efectos especiales y la industria de juegos/cine, hace unos 10 años, las matemáticas prescindieron del "mundo real". Realmente no estoy seguro de lo que realmente significa "aplicación del mundo real" en estos días...

(7) No estoy seguro de si esto es del mundo real, pero los científicos políticos y economistas a menudo usan la teoría de Morse para discutir la estabilidad de la teoría de juegos y equilibrios de mercado. Han estado utilizando la teoría de puntos fijos de la topología como el teorema de punto fijo de Brouwer y el teorema de punto fijo de Kakutani durante mucho tiempo y en los últimos 10 años la teoría de Morse y partes más refinadas de la topología han entrado en juego en estas áreas.

(8) Se utilizaron complejos de umbral de topología para refutar una conjetura de ciencia de la computación sobre la complejidad de ciertos algoritmos. La complejidad de los algoritmos ha sido estudiada utilizando técnicas topológicas, incluido el teorema de Borsuk-Ulam.