¿Espacio tangencial de un múltiple diferenciable es siempre $\mathbb R^n$?

Question

Deje $\mathcal M$ ser un diferencial de colector con un punto de $p$. Vamos a ser U un conjunto abierto, $p\in U$, $\mathcal M$ y deje $\phi,\psi:U\to \mathbb R^n$ ser gráficos en $\mathcal M$. Estoy teniendo dificultades la organización de todos los conceptos de un diferencial de colector. El "colector" de plazas necesarias me da un dolor de cabeza. En el momento de im muy confundido con la construcción del espacio de la tangente en $p$. Voy a empezar a describir mis pensamientos desde el principio: $\require{AMScd}$

$$\begin{CD} U @>\phi>> \mathbb R_\phi^n \\ @V \psi VV @.\\ \mathbb R_\psi^n \end{CD}$$

Que es el conjunto abierto U con gráficos de $\psi,\phi$. Yo denotado $\mathbb R^n$ con el gráfico que se apunta, así que podemos asegurar que a diferenciar entre los diferentes $\mathbb R^n$ -espacios que nos vamos a encontrar.

El espacio de la tangente de $\mathcal M$ o $U$ $p$ $n$- dimensional $\mathbb R$-espacio vectorial, que ha isomorpisms apunta a $T_{\phi(p)} \mathbb R^n$$T_{\psi(p)} \mathbb R^n$. Donde $T_{\phi(p)} \mathbb R^n$ $T_{\psi(p)} \mathbb R^n$ son espacios vectoriales estamos induciendo por la elección de nuestras bases de $B_\psi , B_\phi$ dependiendo de nuestras cartas de la siguiente manera después de que el diagrama:

$$\begin{CD} T_p \mathcal M @> \cong >> T_{\phi(p)} \mathbb R^n \\ @V \cong VV @.\\ T_ {\psi(p)} \mathbb R^n \end{CD}$$

$T_{\phi(p)} \mathbb R^n$ $T_{\phi(p)} \mathbb R^n$ son inducidos por el vector de espacio bases de $B_\psi , B_\phi$ usando isomorphisms a partir de las imágenes de nuestras cartas ($\phi(U)\subset \mathbb R_{\phi}^n, \psi(U)\subset\mathbb R_{\psi}^n)$ a el espacio de la tangente $T_{\phi(p)} \mathbb R^n$. El primera base de vectores de la base $B_\phi$ es dado como $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p := \phi^-1 (\phi(p)+ t e_i)$, los otros vectores de la base de $B_\phi$ siga con $i \in {2,....,n}$.

Vamos a llamar a la función que se lleva a $p$ y nos da $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ $\frac{\partial}{\partial y_i}|_p$ por los nombres de $\bar{\phi}_p$$\bar{\psi}_p$. En un diagrama de ahora tenemos dos opciones para la base de nuestro ismorphic tangente espacios dependiendo $\phi,\psi$:

$$\begin{CD} T_{\phi(p)} \mathbb R^n @. T_{\psi(p)} \mathbb R^n \\ @A \bar{\phi}_p AA @A \bar{\psi}_p AA\\ \mathbb R_\phi^n @. \mathbb R_\psi^n \end{CD}$$

Primera pregunta: ¿por Qué es $T_p \mathcal M$ $\mathbb R$- espacio vectorial, no sé por qué el campo subyacente tiene que ser $\mathbb R$. O es que, simplemente nos identifican $T_p M$$T_{\phi(p)}\mathbb R^n$, si es así, ¿por qué lo hacemos? Tengo la noción de que la $\mathcal M$ es de una naturaleza abstracta, por lo que procede es tangencial espacio es tan $\mathbb R^n$ relacionados?

Segunda pregunta: Suponiendo que yo entendía por qué $T_p \mathcal M$ $\mathbb R$- espacio vectorial, ahora yo me pregunto, ¿cómo puedo cambiar las bases. Así llegamos al álgebra lineal y el pushforward como función lineal entre espacios vectoriales. La imagen del vector coordenado $(1,0,...,0)^t$,de la primera base de vectores $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p$, es la primera fila de la matriz $D((\psi)\circ\psi^-1)$ que nos da las coordenadas del vector expresado en la base de $B_\psi$.

$$\begin{CD} T_{\phi(p)} \mathbb R^n @>D((\psi)\circ\phi^-1)>> T_{\psi(p)} \mathbb R^n \end{CD}$$

Tercera pregunta: La "última" de la idea de que me da un dolor de cabeza ahora mismo es el de la función:

$$\phi_*: T_p \mathcal M \a T_{\phi(p)} \mathbb R^n\text{ define como } \phi_*(\gamma) := \frac{d}{dt}(\phi \circ \gamma )|_{t=0}$$

donde $\gamma$ es un vector tangente, por ejemplo de una curva(definición geométrica de un vector tangente).

Es que la definición de la base de independiente? Si es así, tomando la primera base de vectores de $B_\phi$ es decir, $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p := \phi^-1 (\phi(p)+ t e_i)$ y el uso de $\phi_*$, nos da otro vector tangente en el espacio de la tangente $T_{\phi_*} \mathbb R^n$, o es que lo mismo que $\mathbb R_\phi^n$ o $T_{\phi(p)}R^n$?

Gracias por todas las respuestas!

Answer 1

Primera pregunta:

Felicitaciones, usted ha descubierto variedades algebraicas y sus Zariski el espacio de la tangente. Para el clásico de la geometría diferencial, la razón de que el espacio de la tangente es una $\mathbb{R}$ espacio vectorial es por definición: el modelo local de una variedad diferenciable es $\mathbb{R}^n$. Toda la motivación de los clásicos de la geometría diferencial es el estudio de cosas que, en lo suficientemente pequeños barrios, se parecen a $\mathbb{R}^n$. Sería extraño si su espacio de la tangente no se parece a la de $\mathbb{R}^n$, pero más de algún otro campo, no? Si el modelo de la geometría local por una variedad afín asociado a una base diferente campo, recibirá adecuadamente los diferentes espacios vectoriales como el espacio de la tangente.

Segunda pregunta:

Parece que más o menos tengo, excepto que probablemente significaba $\psi\circ \phi^{-1}$ en lugar de $\psi \circ \psi^{-1}$. De nuevo, localmente que sólo están trabajando con funciones definidas sobre $\mathbb{R}^n$ (lo que puede tardar $\mathbb{R}^k$ valores).

Tercera pregunta:

$\phi_*$ empuja hacia adelante a $T_{\phi(p)}\mathbb{R}^n$, no $T_p\mathbb{R}^n$. Ya que no explican lo $\gamma$ es, no tengo idea de lo que su segunda ecuación significa. Pero la derivada con respecto al $t$ me hace preguntarme si la intención de $\gamma:\mathbb{R}\to M$ y en realidad está pensando en la expresión

$$\phi_*(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\gamma}(t)) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}( \phi\circ \gamma)(t)~?$$

En ese caso, esta definición es la base independiente. Usted puede verificar explícitamente por la composición con la suave mapas asociados a los cambios de los gráficos.

Su expresión $\partial/\partial x_i |_p = \phi^{-1}(\phi(p) + t e_i)$ es malo. El lado izquierdo es un objeto que viven en $T_p M$ y el lado derecho es un objeto que viven en $M$. Usted parece tener un error de tipo.