Deje $\mathcal M$ ser un diferencial de colector con un punto de $p$. Vamos a ser U un conjunto abierto, $p\in U$, $\mathcal M$ y deje $\phi,\psi:U\to \mathbb R^n$ ser gráficos en $\mathcal M$. Estoy teniendo dificultades la organización de todos los conceptos de un diferencial de colector. El "colector" de plazas necesarias me da un dolor de cabeza. En el momento de im muy confundido con la construcción del espacio de la tangente en $p$. Voy a empezar a describir mis pensamientos desde el principio: $\require{AMScd}$
\begin{CD} U @>\phi>> \mathbb R_\phi^n \\ @V \psi VV @.\\ \mathbb R_\psi^n \end{CD}
Que es el conjunto abierto U con gráficos de $\psi,\phi$. Yo denotado $\mathbb R^n$ con el gráfico que se apunta, así que podemos asegurar que a diferenciar entre los diferentes $\mathbb R^n$ -espacios que nos vamos a encontrar.
El espacio de la tangente de $\mathcal M$ o $U$ $p$ $n$- dimensional $\mathbb R$-espacio vectorial, que ha isomorpisms apunta a $T_{\phi(p)} \mathbb R^n$$T_{\psi(p)} \mathbb R^n$. Donde $T_{\phi(p)} \mathbb R^n$ $T_{\psi(p)} \mathbb R^n$ son espacios vectoriales estamos induciendo por la elección de nuestras bases de $B_\psi , B_\phi$ dependiendo de nuestras cartas de la siguiente manera después de que el diagrama:
\begin{CD} T_p \mathcal M @> \cong >> T_{\phi(p)} \mathbb R^n \\ @V \cong VV @.\\ T_ {\psi(p)} \mathbb R^n \end{CD}
$T_{\phi(p)} \mathbb R^n$ $T_{\phi(p)} \mathbb R^n$ son inducidos por el vector de espacio bases de $B_\psi , B_\phi$ usando isomorphisms a partir de las imágenes de nuestras cartas ($\phi(U)\subset \mathbb R_{\phi}^n, \psi(U)\subset\mathbb R_{\psi}^n)$ a el espacio de la tangente $T_{\phi(p)} \mathbb R^n$. El primera base de vectores de la base $B_\phi$ es dado como $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p := \phi^-1 (\phi(p)+ t e_i)$, los otros vectores de la base de $B_\phi$ siga con $i \in {2,....,n}$.
Vamos a llamar a la función que se lleva a $p$ y nos da $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p$ $\frac{\partial}{\partial y_i}|_p$ por los nombres de $\bar{\phi}_p$$\bar{\psi}_p$. En un diagrama de ahora tenemos dos opciones para la base de nuestro ismorphic tangente espacios dependiendo $\phi,\psi$:
\begin{CD} T_{\phi(p)} \mathbb R^n @. T_{\psi(p)} \mathbb R^n \\ @A \bar{\phi}_p AA @A \bar{\psi}_p AA\\ \mathbb R_\phi^n @. \mathbb R_\psi^n \end{CD}
Primera pregunta: ¿por Qué es $T_p \mathcal M$ $\mathbb R$- espacio vectorial, no sé por qué el campo subyacente tiene que ser $\mathbb R$. O es que, simplemente nos identifican $T_p M$$T_{\phi(p)}\mathbb R^n$, si es así, ¿por qué lo hacemos? Tengo la noción de que la $\mathcal M$ es de una naturaleza abstracta, por lo que procede es tangencial espacio es tan $\mathbb R^n$ relacionados?
Segunda pregunta: Suponiendo que yo entendía por qué $T_p \mathcal M$ $\mathbb R$- espacio vectorial, ahora yo me pregunto, ¿cómo puedo cambiar las bases. Así llegamos al álgebra lineal y el pushforward como función lineal entre espacios vectoriales. La imagen del vector coordenado $(1,0,...,0)^t$,de la primera base de vectores $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p$, es la primera fila de la matriz $D((\psi)\circ\psi^-1)$ que nos da las coordenadas del vector expresado en la base de $B_\psi$.
\begin{CD} T_{\phi(p)} \mathbb R^n @>D((\psi)\circ\phi^-1)>> T_{\psi(p)} \mathbb R^n \end{CD}
Tercera pregunta: La "última" de la idea de que me da un dolor de cabeza ahora mismo es el de la función:
$$\phi_*: T_p \mathcal M \a T_{\phi(p)} \mathbb R^n\text{ define como } \phi_*(\gamma) := \frac{d}{dt}(\phi \circ \gamma )|_{t=0}$$
donde $\gamma$ es un vector tangente, por ejemplo de una curva(definición geométrica de un vector tangente).
Es que la definición de la base de independiente? Si es así, tomando la primera base de vectores de $B_\phi$ es decir, $\frac{\partial}{\partial x_i}|_p := \phi^-1 (\phi(p)+ t e_i)$ y el uso de $\phi_*$, nos da otro vector tangente en el espacio de la tangente $T_{\phi_*} \mathbb R^n$, o es que lo mismo que $\mathbb R_\phi^n$ o $T_{\phi(p)}R^n$?
Gracias por todas las respuestas!
