¿Cuál habría sido nuestro sistema numérico si los humanos tuvieran más de 10 dedos? Intenta resolver este rompecabezas.

Question

Intenta resolver este rompecabezas:

La primera expedición a Marte sólo encontró las ruinas de una civilización. A partir de los artefactos y las imágenes, los exploradores dedujeron que las criaturas que produjeron esta civilización eran seres de cuatro patas con un tentáculo que se ramificaba al final con una serie de agarres "dedos". Después de mucho estudio, los exploradores fueron capaces de traducir las matemáticas marcianas. Encontraron la siguiente ecuación: $$5x^2 - 50x + 125 = 0$$ con las soluciones indicadas $x=5$ y $x=8$ . El valor $x=5$ parecía lo suficientemente legítimo, pero $x=8$ requiere alguna explicación. Entonces los exploradores reflexionaron sobre la forma en que se desarrolló el sistema numérico de la Tierra, y encontraron evidencia de que el sistema marciano tenía una historia similar. ¿Cuántos dedos dirías dirías que tenían los marcianos?

$(a)\;10$

$(b)\;13$

$(c)\;40$

$(d)\;25$

P.D. Esto no es un trabajo casero. Es una pregunta formulada en una entrevista.

Answer 1

Mucha gente cree que desde que el ser humano tiene $10$ dedos, utilizamos la base $10$ . Supongamos que los marcianos tienen $b$ dedos y así utilizar una base $b$ sistema de numeración, donde $b \neq 10$ (nótese que no podemos tener $b=10$ ya que en la base $10$ , $x=8$ no debería ser una solución). Entonces, como el $50$ y $125$ en la ecuación están realmente en base $b$ convirtiéndolos en base $10$ rinde $5b+0$ y $1b^2 + 2b + 5$ así que ahora tenemos: $$5x^2-(5b)x + (b^2+2b+5)=0$$ Desde $x=5$ es una solución, la sustitución da como resultado: $$\begin{align*} 5(5)^2-(5b)(5) + (b^2+2b+5) &= 0 \\ b^2-23b+130 &= 0 \\ (b-10)(b-13) &= 0 \\ b&=10,13 \end{align*}$$ Como sabemos que $b\neq10$ concluimos que los marcianos deben tener $13$ dedos. De hecho, esto tiene sentido, porque si $50$ y $125$ están en la base $13$ y luego convertirlos en base $10$ rinde $5(13)=65$ y $1(13)^2+2(13)+5=200$ por lo que nuestra ecuación se convierte en..: $$\begin{align*} 5x^2-65x+200 &= 0 \\ x^2-13x+40&= 0 \\ (x-5)(x-8)&= 0 \\ x&= 5,8 \\ \end{align*}$$ como se desee.

Answer 2

13 dedos. Traducir $5x^2-50x+125$ en la base $b$ : $$5x^2-(5b)x+(b^2+2b+5)$$ Como esto tiene raíces $x=5$ y $x=8$ debemos tener $$5x^2-(5b)x+(b^2+2b+5)=k(x-5)(x-8)=kx^2-13kx+40k$$ así, igualando los coeficientes, $$5=k,\quad 5b=13k,\quad b^2+2b+5=40k$$ y así $b=13$ . Es fácil comprobar que la última ecuación también se cumple.

Quizá los marcianos tenían dos manos de seis dedos y un tronco. No lo sabremos hasta que los xenoarqueólogos aporten alguna prueba.

Answer 3

En una entrevista, puedes impresionar al entrevistador calculando y determinando mentalmente el resultado. Como se ha mencionado en otras respuestas, hay que expresar la ecuación en base distinta de 10 y luego equipararla con las raíces de la ecuación.

1. Por las opciones, está claro que la base es mayor que 10. Esto significa que $5$ y $8$ son dígitos unitarios en alguna base b
2. Sabemos, para cualquier ecuación cuadrática $Ax^2+BX+C=0$ se puede expresar la suma de las raíces de la ecuación como $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$
3. Cualquier número en base b puede convertirse a base 10 multiplicando los dígitos por la enésima potencia de la base, siendo n la posición decimal del dígito. Así que $50 = 5b^1+0b^0=5b$

Por lo tanto, si conoces estos conceptos, sólo tienes que resolver la ecuación

$$-\frac{-50}{5}=-\frac{-5b}{5}=\alpha+\beta=5+8$$ $$b = 13$$

que es la base del sistema numérico de los marcianos.

Ahora correlacionando con el origen del sistema numérico humano que la base 10 es porque tenemos 10 dedos, lo que significaría, que los marcianos tienen 13 dedos \tentacles\.....

Answer 4

La respuesta correcta es (a) 10.

No se comenta a qué sistema numérico se refieren las respuestas dadas. Como todos los demás números se refieren al sistema numérico marciano, podemos suponer con seguridad que las respuestas se refieren también al sistema numérico marciano.

Answer 5

Suponiendo que los marcianos utilicen la notación posicional en su base de número de dedos, $n$ podemos escribir la ecuación cuadrática como $$5 x^2 - (\; 5 \cdot n + 0\cdot 1 \;) x + (\; 1\cdot n^2 + 2\cdot n + 5\cdot 1 \;) = 0$$ o bien, destacando $n$ , $$n^2 + n ( 2 - 5 x ) + 5 ( 1 + x^2 ) = 0$$

Sabemos que ambos $5$ y $8$ satisfacen la ecuación, de modo que (¡utilizando la notación de base-10!) $$\begin{align} x = 5: \qquad n^2 - 23 n + 130 &= 0 & (1) \\ x = 8: \qquad n^2 - 38 n + 325 &= 0 &(2) \end{align}$$

Restando la ecuación (2) de la ecuación (1) se obtiene

$$15 n - 195 = 0$$

En consecuencia, $n = 13$ ... que es, por supuesto, " $10$ " en números marcianos.