Encontrar un espacio con dado grupos de homología y grupo fundamental

Question

Empecé a pensar hace un par de días sobre el ejemplo de abajo, y me llevó a la siguiente pregunta:

Cómo (o si?) podemos construir un espacio (digamos un CW complejo), con una homología de grupos y fundamental? Sé que lo podemos hacer cualquiera de estas por separado, pero no podía hacer ambas cosas simultáneamente, incluso por el simple ejemplo de abajo. También, podemos tener dos espacios de $X, Y$ tal que $X$ no es homotopy equivalente a $Y$?

EDIT: Es una condición necesaria para que el grupo que desea como una $H_1$ es el abelianization de la que queremos como $\pi_1$.

Este es el ejemplo:

Queremos saber si es posible encontrar un espacio de $X$ (no homotopy equivalente a $\mathbb{T}^2$) tal que $H_n(X) \cong H_n(\mathbb{T}^2)$$\pi_1(X) \cong \pi_1(\mathbb{T}^2) \cong \mathbb{Z}^2$.

Por ejemplo, el espacio de $X= S^2 \vee S^1 \vee S^1$ tiene la misma homología como el toro, pero tiene grupo fundamental de la $\mathbb{Z}\ast\mathbb{Z}$. Pensé en adjuntando $2$-cell $X$ a añadir a la relación de $aba^{-1}b^{-1}$, pero esto termina dando a me $Y = S^2 \vee \mathbb{T}^2$, lo que ha $H_2(Y) \cong \mathbb{Z}^2$, por lo que no es lo que quiero.

Todas las sugerencias se agradece, gracias de antemano.

Answer 1

Esta es una respuesta parcial.

Para cualquier grupo abelian $G$ e integer $n \geq 1$, no es un CW complejo de $M(G, n)$ tal que

$$\tilde{H}_i(M(G, n)) = \begin{cases} G & i = n\\ 0 & i \neq n \end{casos}$$

llama Moore espacio. Por otra parte, para $n > 1$, podemos tomar estos espacios para ser simplemente conectado. Vea el Ejemplo de $2.40$ de Hatcher Topología Algebraica.

Utilizando el hecho de que $H_n(\bigvee_{\alpha}X_{\alpha}) = \bigoplus_{\alpha}H_n(X_{\alpha})$, vemos que para una secuencia dada de abelian grupos $\{G_n\}_{n=1}^{\infty}$, el CW complejo de $X = \bigvee_{n=1}^{\infty}M(G_n, n)$ tiene la propiedad de que $H_i(X) = G_i$.

Sin embargo, todo lo que puede decirse de $\pi_1(X)$ es que su abelianisation es $G_1$. Hay muchos grupos diferentes con el mismo abelianisation, por lo $\pi_1(X)$ puede no ser el grupo con el que quería estar.

Si se pudiera construir el Moore espacios de $M(G, 1)$ con un determinado grupo fundamental (que debe satisfacer la condición necesaria para que su abelianisation es $G$), luego la de arriba espacio tendría las propiedades deseadas. Sin embargo, no sé si esto se ha hecho.

Answer 2

No sé si esto responde tu pregunta, probablemente no, pero si $\pi_n(x)=0$ % todo $n>1$entonces la homología grupos $H_n(X)$ se determina por $\pi_1(X)$ de hecho son la cohomología de grupo del grupo $\pi_1(X)$. Así que puede tener la variable $\pi_n(X)$.

Answer 3

El caso donde $H_1(X)=0$. No es siempre posible ya que el primer grupo de homología es abelianization del grupo fundamental que no siempre es cero.