Pregunta sobre la definición: ¿Qué es un espacio lineal afín?

Question

En un artículo que estoy leyendo dice: Let $H$ ser un espacio lineal afín de codimensión $m$...

Alguien podría por favor explicarme ¿qué se entiende por espacio lineal afín? ¡Gracias!

Answer 1

Otros han mencionado cómo afín espacios surgir, que es probablemente más útil en este contexto, pero también puede ser útil para saber lo que son. (EDIT: mientras escribía esta definición, @Bernard le dio una da más pegada versión de la misma; pero espero que la motivación es útil todavía.)

Mi ejemplo favorito es el de que los puntos en un espacio Euclídeo de formar un espacio afín, y los vectores en un espacio Euclídeo de forma (lo has adivinado!) un espacio vectorial. Tenga en cuenta que puede sumar vectores, pero no puede agregar puntos; que no es un canónica 0 vector, pero no canónica 0 punto; y que se puede restar puntos, pero la respuesta es un vector (a partir del sustraendo al minuendo), no un punto. Todo esto es típico de general afín a los espacios.

Concretamente, cuando uno se refiere a "un espacio afín $H$", realmente significa "un espacio afín $H$ menores de un espacio vectorial $W$". Esta estructura equivale a una traducción mapa de $H \times W \to H$, que es a menudo denotado $(h, w) \mapsto h + w$, de tal manera que

1. $h + (w_1 + w_2) = (h + w_1) + w_2$ todos los $h \in H$$w_1, w_2 \in W$,

2. $h + w = h$ si y sólo si $w = 0$, para todos los $h \in H$$w \in W$, y

3. $h + \cdot$ es un bijection $W \to H$ todos los $h \in H$.

La tercera condición se dice que, para cualquier par de elementos de a $h_1, h_2$ elegir en el espacio afín, existe un único vector de $w \in W$ tal que $h_1 + w = h_2$. (La primera dice que las dos composiciones $(H \times W) \times W \to H \times W \to H$ $H \times (W \times W) \to H \times W \to H$ está de acuerdo, es decir, que un determinado diagrama de desplazamientos; o, más brevemente, que la traducción mapa es un juego de acción en $H$ del aditivo grupo subyacente $W$.) Si uno escribe (sugestivamente) $w = h_2 - h_1$, por la única solución a esta ecuación, entonces uno puede equivalentemente, pensar en un espacio afín como ser equipado con el mapa de $H \times H \to W$$(h_1, h_2) \mapsto h_2 - h_1$; este es el mismo de los datos y, a continuación, nuestras condiciones de convertirse en

1. $(h_3 - h_2) + (h_2 - h_1) = h_3 - h_1$ todos los $h_1, h_2, h_3 \in H$,

2. $h_2 - h_1 = 0$ si y sólo si $h_1 = h_2$ todos los $h_1, h_2 \in H$, y

3. $\cdot - h$ es un bijection $H \to W$ todos los $h \in H$.

Para hacer $\{\text{points of a fixed Euclidean space}\}$ a un espacio afín en $\{\text{vectors of that same Euclidean space}\}$, definir $P + \vec v$ $Q$ donde $Q$ es el extremo del vector $\vec v$ cuando se traduce de modo que su inicio es a las $Q$. De nuevo, puede ser más fácil pensar de la sustracción mapa de $P - Q = \overrightarrow{QP}$, lo que resta puntos y produce vectores. (Otro ejemplo en el mismo espíritu que las fechas de formar un espacio afín en virtud de veces: usted puede agregar veces, pero no las fechas, hay un canónica 0 tiempo, pero no canónica 0 fecha; y puede restar fechas para obtener la cantidad de tiempo entre ellos.)

Tenga en cuenta que siempre se puede hacer un espacio afín $H$ bajo $W$ en un espacio vectorial (de hecho, un bijective copia de $W$); acaba de elegir cualquier punto de $h_0 \in H$ a tratar como el origen y, a continuación, definir, para $h_1, h_2 \in H$ $\lambda$ en el campo subyacente, $h_1 + h_2$ $h_0 + (w_1 + w_2)$ $\lambda h_1$ $h_0 + \lambda w_1$ donde $w_i = h_i - h_0$. Es en este sentido que mucha gente va a decir que un espacio afín es un espacio vectorial en el que se ha "olvidado el origen"; se podría decir tanto como decir que es un espacio vectorial en el que cualquier punto puede ser elegido para ser el origen.

Si $V$ es un espacio vectorial, $W \subseteq V$ es un subespacio, y $H \subseteq V$ es un espacio afín en $W$ donde el mapa de la estructura de $H \times V \to V$ es el habitual de adición de vectores, entonces es fácil demostrar que, para cualquier vector $h \in H$,$H = h + W$. Es decir, $H$ es un coset de un subespacio de $V$. En efecto, como @PedroTamaroff menciona, esto a veces se toma como la definición de un afín subespacio de un espacio vectorial. En este contexto, la dimensión y codimension de $H$ son, por fiat, los mismos que los de $W$.

Answer 2

Un espacio afín ve geométricamente como un espacio vectorial, excepto que usted puede ser que haya movido el origen a otro punto. El ejemplo clásico es el conjunto solución de una ecuación lineal $Ax=b$; al $b=0$ este es un espacio vectorial, al $b \neq 0$ no es un espacio vectorial, pero es un espacio afín. La noción de espacio afín también nos compre algo de álgebra, aunque diferentes de álgebra de la habitual espacio vectorial álgebra. El álgebra es diferente ya que no hay forma natural de añadir vectores en un espacio afín, pero no es una forma natural para restar ellos, la producción de vectores llamados vectores de desplazamiento que viven en el espacio vectorial asociado a nuestro espacio afín.

Answer 3

La definición abstracta es que, dado un espacio vectorial $E$, un espacio afín $\mathcal E$ $E$ de la dirección es un conjunto no vacío $\mathcal E$ con un libre y la acción transitiva del grupo aditivo de $E$ $\mathcal E$.

Answer 4

"Vamos a H ser un afín espacio lineal de codimension $m$"

¿qué se entiende por afín espacio lineal?

Hay dos significados relacionados con: $H$ no está obligado a contener $0$, e $H$ no es necesario tener ninguna de sus puntos distinguido como "origen". La frase en la pregunta tenga sentido, $H$ debe estar dentro de un espacio lineal que tiene una distinguida de origen.

En la práctica, esto significa $H$ es cortado por medio de ecuaciones lineales que permiten tener un valor distinto de cero términos constantes, o es la imagen de un no-homogéneo vector de valores de la función lineal $Ax + b$. El número mínimo de ecuaciones lineales no homogéneas necesario definir $H$ es el codimension $m$.

Answer 5

Definición: Que $V$ un espacio vectorial. Un conjunto de $B$ (también $ \emptyset $), se llama espacio afín si $ \exists F: B\times B \to V$ tal que $ \forall P, Q \in A, F(P,Q)= v \in V$ con las siguientes características:

1. $\forall P \in B, \forall v \in V, \exists! Q \in B$ tal que $v=F(P,Q).$
2. $\forall P,Q,R \in B, F(P,Q) +F(Q,R)=F(P,R).$ (Relación de parece).

Podemos definir la dimensión de un espacio afín de esta forma: $dim(B)=dim(V) $ si $ A \neq \emptyset$ y $dim(B)=-1 $ si $B=\emptyset$.