¿Por qué es el volumen de una esfera $\frac{4}{3}\pi r^3$?

Question

Aprendí que el volumen de una esfera es $\frac{4}{3}\pi r^3$, pero ¿por qué? El $\pi$ tiene sentido porque es redondo como un círculo, y el $r^3$ porque es 3-D, ¡pero $\frac{4}{3}$ es tan aleatorio! ¿Cómo podría alguien adivinar algo así para la fórmula?

Answer 1

Además de los métodos del cálculo, Pappus y Arquímedes mencionados anteriormente, el Principio de Cavalieri puede ser útil para este tipo de problemas.

Suponga que tiene dos figuras sólidas alineadas una al lado de la otra, cada una encajando entre los mismos dos planos paralelos. (Por ejemplo, dos pilas de monedas sobre la mesa, de la misma altura). Luego, considere cortar las dos figuras con un plano paralelo a los dos dados y entre ellos. Si el área de la sección transversal así formada es la misma para cada uno de los sólidos para cualquier plano, los volúmenes de los sólidos son iguales.

Si está dispuesto a aceptar que conoce el volumen de un cono es 1/3 del de un cilindro con la misma base y altura, puede usar Cavalieri, comparando una semiesfera con un cilindro con un cono inscrito, para obtener el volumen de la esfera. Esta diagrama (de Wikipedia) ilustra la construcción: mira aquí

Considere un cilindro de radio $R$ y altura $R$, con, dentro de él, un cono invertido, con base de radio $R$ coincidiendo con la parte superior del cilindro, y nuevamente altura $R$. Junto a este, coloque una semiesfera de radio $R$. Ahora considere la sección transversal de cada uno a una altura $y$ por encima de la base. Para el sistema cilindro/cono, el área de la sección transversal es $\pi (R^2-y^2)$. Es lo mismo para la sección transversal de la semiesfera, como puede ver haciendo el teorema de Pitágoras con cualquier vector desde el centro de la esfera hasta un punto en la esfera a la altura y para obtener el radio de la sección transversal (que es circular).

Dado que el cilindro/cono y la semiesfera tienen la misma altura, por el Principio de Cavalieri, los volúmenes de ambos son iguales. El volumen del cilindro es $\pi R^3$, el cono es un tercio de eso, por lo que el volumen de la semiesfera es $\frac{2}{3} \pi R^3$. Por lo tanto, la esfera de radio $R$ tiene un volumen de $\frac{4}{3} \pi R^3$.

Answer 2

Una respuesta completa utilizando el método del disco sería la siguiente.

Si haces la revolución de $y=\sqrt{r^2-x^2}$ alrededor del eje $x$ (y formando un sólido) obtienes el volumen de una esfera.

Forma un disco con altura $f(x)$, y encuentra su área.

El área del disco rojo de arriba es $\pi r^2$, o $\pi f(x)^2$, o podríamos decir $\pi \sqrt{r^2-x^2}^2=\pi \left (r^2-x^2\right )$ en cualquier punto $x$ entre $x=-r$ y $x=r$.

Para encontrar el volumen de una esfera de radio $r$, solo necesitas sumar las áreas de discos infinitamente delgados conforme $x$ va desde $-r$ hasta $r$.

Para calcularlo: $$\begin{align*}\int \limits _{-r}^r\pi \sqrt{r^2-x^2}^2\,dx & =2\pi \int \limits _0^rr^2-x^2\,dx \\ & =2\pi \left (\left .r^2x-\frac{1}{3}x^3\right )\right |_0^r \\ & =2\pi \left (r^3-\frac{1}{3}r^3\right ) \\ & =\frac{4\pi}{3}r^3. \end{align*}$$

Answer 3

El teorema del centroide de Pappus (segundo teorema) dice que el volumen de un sólido formado al hacer girar una región alrededor de un eje es el producto del área de la región y la distancia recorrida por el centroide de la región al ser girada. Una esfera se puede formar al girar un semicírculo alrededor de su diámetro.

El área del semicírculo es $\frac{1}{2}\pi r^2$. El centroide del semicírculo se puede encontrar al intersectar dos líneas que dividen el área del semicírculo en dos partes iguales. Una de esas líneas es perpendicular al diámetro a través del centro del semicírculo (es una línea de simetría del semicírculo). Otra línea es paralela al diámetro, $\frac{4r}{3\pi}$ de distancia de él (la verificación de esto se deja como ejercicio para el lector). Al girar alrededor del diámetro del semicírculo, el centroide recorre $2\pi\cdot\frac{4r}{3\pi} = \frac{8}{3}\cdot r$, por lo que el volumen de la esfera es $\frac{1}{2}\pi r^2\cdot\frac{8}{3}\cdot r = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Answer 4

Para darte una perspectiva más amplia, el volumen de una $n-1$-esfera en $\mathbb{R}^n$ está dado por $C_n r^n$, donde $r$ es el radio y $C_n=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}$. Para $n$ par, esto se reduce a $C_n =\frac{\pi^{n/2}}{\left(\frac{n}{2}\right)!}$, y para $n$ impar, se convierte en $C_n =2^{(n+1)/2}\frac{\pi^{(n-1)/2}}{n!!}$, donde $n!!$ denota el factorial doble.

Así, en el caso $n=3$, la constante es $2^2 \frac{\pi^1}{3!!} = \frac{4 \pi}{3}$.

El punto de esto es mostrarte que la fórmula general también involucra factores en el denominador, y que la fórmula para $n=3$ no es 'aleatoria' sino que encaja en un patrón general.

Answer 5

Quería publicar esto como un comentario a la respuesta de Justin L. pero es mi primera publicación aquí, así que no pude. Arquímedes estaba tan orgulloso de su demostración de que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen de un cilindro de la misma altura y diámetro que pidió que se colocara una escultura ilustrando esto en su tumba. La tumba fue encontrada más tarde por el orador romano Cicerón, quien la describe de la siguiente manera:

"Logré localizar su tumba. Los siracusanos no sabían nada al respecto, e incluso negaron que tal cosa existiera. Pero allí estaba, completamente rodeada y oculta por arbustos de zarzas y espinos. Recordé haber oído acerca de unas simples líneas de versos que habían sido inscritas en su tumba, haciendo referencia a una esfera y un cilindro modelados en piedra en la parte superior de la tumba. Así que observé detenidamente todas las numerosas tumbas que se encuentran junto a la Puerta Agrigentina. Finalmente noté una pequeña columna apenas visible sobre la maleza: estaba coronada por una esfera y un cilindro."

El pintor estadounidense Benjamin West imaginó la escena en su pintura de 1797 "Cicero Discovering the Tomb of Archimedes".