Demostración directa de que f(x)=x sen(1/x) no satisface la condición N de Lusin

Question

Sea $f$ definirse como

$$f(x)=\begin{cases} x \sin(\frac{1}{x}) & x\ne 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$$

$f(x)$ no es absolutamente continua, por lo que no puede puede que no satisfacen la condición Lusin N.

¿Hay alguna prueba directa de que no es así? Es decir, quería saber cómo construir un conjunto de medida cero que no satisfaga la Condición de Lusin para esta función.

Answer 1

La función envía cada conjunto de medida cero a un conjunto de medida cero.

Sea $A\subset\mathbb R$ sea un conjunto nulo (es decir $A$ tiene medida 0). Entonces $f(A)=f(A\cap \{0\})\cup f(A\cap(\mathbb{R}\setminus \{0\}))$ . El primer conjunto de la unión tiene como máximo un punto, por lo que sólo tenemos que preocuparnos del segundo. El conjunto $A\cap(\mathbb{R}\setminus \{0\})$ puede expresarse como una unión contable de conjuntos de la forma $A\cap [a,b]$ con $0\lt a$ o $b\lt 0$ y, por tanto, como la imagen de una unión es la unión de las imágenes, $f(A\cap(\mathbb{R}\setminus \{0\}))$ puede expresarse como una unión contable de conjuntos de la forma $f(A\cap [a,b])$ con $0\lt a$ o $b\lt 0$ . Para cada $a$ y $b$ , $f$ es continuamente diferenciable en una vecindad de $[a,b]$ y, por tanto, la restricción de $f$ a $[a,b]$ es absolutamente continua (por ejemplo, por el teorema fundamental del cálculo para $C^1$ funciones). Por lo tanto, la imagen del conjunto nulo $A\cap[a,b]$ en $f$ es nulo. Las uniones contables de conjuntos nulos son nulas, así que esto demuestra que $f(A)$ es nulo.