Uso de la teoría de residuos para evaluar $ \int_0^\infty \frac{ \sin \pi x}{x(1-x^2)} \;\text{ dx}$

Question

¿Estoy en la última pregunta de mi tarea y es que utilizando la teoría de residuos, que realmente no entiendo, así podría alguien echar me una mano?

Tengo que evaluar la integral impropia convergente real usando teoría de residuos:

$$ \int_0^\infty \frac{ \sin \pi x}{x(1-x^2)} \; \textrm{d}x$$

Answer 1

Tenga en cuenta que el integrando es una función par de $x$, así que vamos a calcular la integral de la mitad de las integrando sobre toda la recta real.

El uso de fracciones parciales, se obtiene $$ \frac{1/2}{x(1-x^2)}=\frac{1/2}{x}+\frac{1/4}{1-x}-\frac{1/4}{1+x} $$ Desde las singularidades son extraíbles, podemos utilizar el contorno de $\gamma$ $-\infty-i\epsilon$ $+\infty-i\epsilon$en lugar de $\mathbb{R}$. El paso clave es romper la integral en dos a lo largo de dos contornos cerrados

1. $\gamma_+$ que va de$-N-\frac iN$$+N-\frac iN$, a continuación, en sentido antihorario alrededor de la semicircunferencia centrada en $-\frac iN$ $+N-\frac iN$ $-N-\frac iN$

2. $\gamma_-$ que va de $-N-\frac iN$ $+N-\frac iN$luego de las agujas del reloj alrededor de la semicircunferencia centrada en $-\frac iN$ $+N-\frac iN$ $-N-\frac iN$

$$ \frac{1}{2}\oint_{\gamma_+}\left(\frac{1/2}{z}+\frac{1/4}{1-z}-\frac{1/4}{1+z}\right)e^{i\pi z}\mathrm{d}z-\frac{1}{2i}\oint_{\gamma_-}\left(\frac{1/2}{z}+\frac{1/4}{1-z}-\frac{1/4}{1+z}\right)e^{-i\pi z}\mathrm{d}z $$ Como $N\to\infty$, la contribución de la semi-circular partes se desvanece y nos quedamos con la integral a lo largo de $\gamma$$\frac{1/2}{x(1-x^2)}\sin(\pi x)=\frac{1/2}{x(1-x^2)}\dfrac{e^{i\pi x}-e^{-i\pi x}}{2i}$.

No hay singularidades en el interior de $\gamma_-$, de modo que la integral es $0$. Por lo tanto, el conjunto de la integral se reduce a $$ \frac{1}{2}\oint_{\gamma_+}\left(\frac{1/2}{z}+\frac{1/4}{1-z}-\frac{1/4}{1+z}\right)e^{i\pi z}\mathrm{d}z $$ Resumiendo los residuos en $-1,0,\text{and }1$ rendimientos $\dfrac{1}{4i}2\pi i+\dfrac{1}{8i}2\pi i+\dfrac{1}{8i}2\pi i=\pi$.

Por lo tanto, $$ \int_0^\infty\frac{\sin(\pi x)}{x(1-x^2)}\mathrm{d}x=\pi $$

Answer 2

Este enfoque no utiliza el residuo de la teoría, pero puede ser que se ajuste a sus necesidades. Desde $f(x)=\frac{\sin\pi x}{x(1-x^2)}$ es incluso entonces $$ \int\limits_{\mathbb{R}_+}f(x)dx= \frac{1}{2}\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)dx= \frac{1}{2}\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x(1-x^2)}dx= $$ $$ \frac{1}{2}\int\limits_{\mathbb{R}}\sin\pi x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}\right)dx= $$ $$ \frac{1}{2}\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x}dx- \frac{1}{4}\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x-1}dx- \frac{1}{4}\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x+1}dx= $$ Tenga en cuenta que $$ \int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x-1}dx=\{t=x-1\}= \int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi (t+1)}{t}dt= -\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi t}{t}dt= -\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x}dx $$ Del mismo modo, $$ \int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x+1}dx= \{t=x+1\}= \int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi (t-1)}{t}dt= -\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi t}{t}dt= -\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x}dx $$ Por lo tanto, hemos $$ \int\limits_{\mathbb{R}_+}f(x)dx= \frac{1}{2}\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x}dx- \frac{1}{4}\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x-1}dx- \frac{1}{4}\int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x+1}dx= \int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x}dx $$ La última integral se reduce a los llamados de Dirichlet integral $$ \int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sin\pi x}{x}dx= \{t=\pi x\}= \int\limits_{\mathbb{R}}\frac{\sen t}{t}dt=\pi $$

Answer 3

$$f(z) = \frac{e^{\pi iz}}{z(1-z^2)}$$

Integrando a lo largo de $C$, un gran semicicle en el plano medio, sangría alrededor de $0$ y $\pm 1$, tenemos

$$0=\oint_C f(z)\, dz = P.V.\int_{-\infty}^\infty f(z)\, dz-i \pi\operatorname*{Res}_{z=0}f-i \pi\operatorname*{Res}_{z=1}f-i \pi\operatorname*{Res}_{z=-1}f\tag{1}$ $ Trivial, $$\operatorname*{Res}_{z=0}f = 1$ $

$$\operatorname*{Res}_{z=-1}f = \frac 12$$

$$\operatorname*{Res}_{z=1}f = \frac 1 2$$

así, tomando la parte real de $(1)$ y dividiendo por 2:

$$\int_0^\infty \frac{\sin (\pi x)}{x(1-x^2)}\,dx=\pi$$