Pruebalo $3 \mid (a+b+c+d)$

Question

Dado $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$satisfacción $a^3+b^3 = 2(c^3-8d^3)$, demostrar que $3 \mid (a+b+c+d)$.

Yo primero factorizar $a^3+b^3$ a $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. No estaba seguro de cómo usar la derecha para obtener $a+b+c+d$. ¿Cómo podemos demostrar que $3 \mid (a+b+c+d)$?

Answer 1

$x^3\equiv x\bmod3$, que en este caso puedes probar por ensayo y error. Esto debería reducir al $a+b\equiv2c-d\bmod3$. Agregar $c+d$ a ambos lados los rendimientos $a+b+c+d\equiv3c\equiv0\bmod3$, que significa $3|(a+b+c+d)$.