Sistema de ecuaciones de diophantine

Question

Estoy tratando de saber si hay una forma eficaz de encontrar el menor (i.e lexicográficamente) triplete $(a,b,c)$ de los enteros verificar $$a^2+b^2+c^2 = x$$ $$a^3+b^3+c^3=y$$ $$a^4+b^4 + c^4 = z$$ if $(x,y,z)$ es conocido.

Suponemos que existe una solución para que el triplete $(x,y,z)$.

Originalmente, esta pregunta es parte de un problema algorítmico. Así que lo que quiero es una manera rápida de encontrar el triplete sin tener por fuerza bruta.

Lo he intentado (la fuerza bruta): ir a través de todos los posibles valores de $a$ ya que se puede deducir un límite superior a su valor, nos quedamos con tres ecuaciones, donde es fácil encontrar a $b$ $c$ y ver si son números enteros.

EDIT: Podemos suponer también que, a $a<b<c$.

Answer 1

Si $a,b,c$ es números enteros tales que

$$a^2 + b^2 + c^2 = x$$ $$a^3 + b^3 + c^3 = y$$ $$a^4 + b^4 + c^4 = z$$

entonces deben tener las siguientes condiciones de divisibilidad:

$$\left (a + b + c \right) \mid \left (x ^ 2 - 2z \right)$$

$$\left (4\left (ab + bc + ca\right) \right) \mid \left (x ^ 4 + 6 x ^ 2z - 16xy ^ 2 + 9z ^ 2 \right)$$

$$\left (2abc \right)^2 \mid \left (x ^ 6-4 x ^ 3y ^ 2-3 x ^ 2z ^ 2 + 12xy ^ 2z - 4y ^ 4 - 2z ^ 3 \right)$$

De estos, el último reducirá su búsqueda considerablemente.

Answer 2

Si usted tiene un software para encontrar las raíces reales, el siguiente resultado nos proporciona otra manera de encontrar la clasificación de triples $a,b,c$ ...

Proposición: Si $a,b,c$ satisfacer $a^2 + b^2 + c^2 = x$, $a^3 + b^3 + c^3 = y$, $a^4 + b^4 + c^4 = z$, a continuación, $a,b,c$ son las raíces de los siguientes 12-esima de grado del polinomio:

$$p(t) = \left(12\right)\left(t^{12}\right) -\left(24x\right)\left(t^{10}\right) -\left(16y\right)\left(t^9\right) +\left(24x^2-12z\right)\left(t^8\right) +\left(48xy\right)\left(t^7\right)$$ $$-\left(24x^3+8y^2\right)\left(t^6\right) -\left(24x^2y-24yz\right)\left(t^5\right)$$ $$+\left(15 x^4+6x^2z-24xy^2+3z^2\right)\left(t^4\right) +\left(8x^3y-24xyz+16y^3\right)\left(t^3\right)$$ $$-\left(6x^5-12x^2y^2-6xz^2+12y^2z\right)\left(t^2\right) +\left(x^6-4x^3y^2-3x^2z^2+12xy^2z-4y^4-2z^3\right)$$