¿Hacia qué lado se inclina la balanza?

Question

Encontré el problema descrito en la imagen adjunta en internet. En las secciones de comentarios había dos soluciones opuestas. Así que me hizo preguntarme cuál de esas sería la solución real.

Así que básicamente la pregunta sería la siguiente. Supongamos que tendríamos dos probetas idénticas, llenas con la misma cantidad del mismo líquido, digamos agua. En la probeta izquierda se fijaría una pelota de ping pong en el fondo de la probeta con un cordel y encima de la probeta derecha se colgaría una bola de acero del mismo tamaño (volumen) que la pelota de ping pong, sumergiendo la bola de acero en el agua como se muestra en la imagen. Si ambas probetas se colocaran en una báscula, ¿hacia qué lado se inclinaría?

Según internet, se creía que cualquiera de las respuestas siguientes sería la solución.

1. El lado izquierdo se inclinaría hacia abajo, porque la pelota de ping pong y el cordel añaden masa al lado izquierdo, ya que están realmente conectados al sistema.
2. El lado derecho se inclinaría hacia abajo, debido a la flotabilidad del agua en la bola de acero empujando la bola de acero hacia arriba y la báscula hacia abajo.

Ahora, ¿cuál sería la solución según la física?

Answer 1

Aquí tienes un diagrama de cuerpo libre de las bolas:

… y uno del volumen de agua:

Las cuatro ecuaciones de equilibrio son

$$ \begin{align} B_1 - T_1 - m_1 g & =0 \\ B_2 + T_2 - m_2 g & = 0 \\ F_1 + T_1 - B_1 - M g & = 0 \\ F_2 - B_2 - M g & = 0 \end{align} $$

donde $\color{magenta}{B_1}$,$\color{magenta}{B_2}$ son las fuerzas de flotación, $\color{red}{T_1}$,$\color{red}{T_2}$ son las tensiones de las cuerdas y $M g$ es el peso del agua, $m_1 g$ el peso de la pelota de ping-pong y $m_2 g$ el peso de la bola de acero.

Resolviendo lo anterior obtenemos

$$\begin{align} F_1 & = (M+m_1) g \\ F_2 & = M g + B_2 \\ T_1 & = B_1 - m_1 g \\ T_2 & = m_2 g - B_2 \end{align} $$

Por lo tanto, se inclinará hacia la derecha si la flotabilidad de la bola de acero $B_2$ es mayor que el peso de la pelota de ping-pong $m_1 g$.

$$\boxed{F_2-F_1 = B_2 - m_1 g > 0}$$

Esta es la misma respuesta que @rodrigo pero con diagramas y ecuaciones.

Answer 2

El peso en el recipiente izquierdo sería el peso del agua más el peso del jarrón más la pelota de ping pong (más el hilo, ignorado).

El peso en el recipiente derecho sería el peso del agua más el peso del jarrón más la flotabilidad de la pelota de acero (más la flotabilidad del hilo sumergido, ignorada). Esa flotabilidad es el peso de un volumen equivalente de agua.

Dado que la pelota de ping pong es más ligera que el agua, la balanza se inclinará hacia la derecha.

¿Por qué es ese el peso en el recipiente derecho? Míralo de esta manera: la pelota está en equilibrio, por lo que la suma de todas las fuerzas sobre ella será 0. Estas fuerzas son peso, tensión en el hilo y flotabilidad. Entonces, la tensión en el hilo es $tensión = pelota - flotabilidad$ (¿obvio?). Y el peso en el plato derecho es la suma de todos los pesos menos la tensión en el hilo. Eso es $agua + jarrón + pelota - tensión$, que es lo mismo que $agua + jarrón + flotabilidad$.

Answer 3

Un experimento mental

Podemos llegar a una explicación intuitiva sin necesidad de conocimientos especiales de física. La estrategia es recrear el experimento lo más fielmente posible manteniendo los dos lados en equilibrio.

Imagina que empiezas con dos probetas idénticas, llenas con la misma cantidad de agua, sin bolas. Colocadas en la balanza, se equilibran.

En el lado izquierdo, coloca una bola de ping-pong con un hilo colgando. Vamos a fingir que el hilo y las paredes de la bola no tienen peso. Con esa aproximación, las balanzas permanecen equilibradas. (Después de todo, todo lo que hemos hecho es dar un nombre a una esfera arbitraria de aire sobre el agua.)

Luego, finge que hay un duende del agua en el fondo de la probeta izquierda, operando una polea, apretando la cuerda. Una vez más, esto no tiene efecto en la balanza, ya que el cambio de configuración en la probeta izquierda es autocontenido. La bola se hunde y el nivel del agua sube.

En el lado derecho, baja una bola permeable al agua, suspendida de una cuerda. (Fingiremos que las paredes de la bola no tienen peso.) La bola se llena de agua que ya estaba en la probeta. Una vez más, la balanza permanece equilibrada, ya que todo lo que hemos hecho es dar un nombre a una esfera arbitraria de agua.

Supon que hay un Rey Midas dentro de la bola derecha, convirtiendo el agua en oro, o acero, o cualquier otro material más denso. No importa, ya que cualquier peso adicional será soportado por la cuerda que sostiene la bola derecha.

Hasta ahora, las balanzas siguen equilibradas. Pero, ¿cuál es la diferencia entre el escenario hasta ahora y el que planteas en tu pregunta? El nivel del agua en el lado derecho no subió cuando bajamos la bola porosa en la probeta derecha, como lo haría si hubiéramos bajado una bola de acero sólida.

Entonces, vierte una cantidad de agua en la probeta derecha equivalente al volumen de la bola de acero, ¡y habrás recreado el experimento! Por supuesto, la balanza se inclinaría hacia la derecha en ese caso.

Answer 4

Me sorprende que esto sea tan confuso para algunos. Esto es demasiado largo para ser un comentario, así que lo convierto en una respuesta. La versión TL;DR: Las respuestas que dicen que la balanza se inclinará hacia la derecha son correctas. El vaso de precipitados lleno de agua con la bola de acero suspendida desde arriba es más pesado que el vaso que contiene la bola de ping pong anclada desde abajo.

Supuestos

• Los dos frascos son idénticos. Para que esto sea así, hasta el punto de dividir los pelos, vamos a colocar un conector en el fondo de ambos matraces. El conector servirá para anclar al fondo la pelota de ping pong de la izquierda. Necesitamos ese mismo conector, sin usar, en la derecha para que los matraces sean idénticos.
• Los dos matraces contienen cantidades idénticas de agua.
• La pelota de ping pong y la de acero tienen el mismo tamaño y están totalmente suspendidas en el agua.
• La pelota de ping pong es menos densa que el agua, mientras que la pelota de acero es, por supuesto, más densa que el agua.
• Las cuerdas tienen una masa insignificante.
• Las balanzas son muy sensibles y pueden detectar las diferencias de masa hasta el nivel de los subcentrómetros.

Experimento nº 1: Pelota de ping pong anclada a la izquierda, sin pelota de acero a la derecha

Esta es fácil: el lado izquierdo es más pesado. Una explicación sencilla es considerar el agua + la pelota de ping pong de la izquierda como un sistema. Este sistema es estático, por lo que la fuerza neta es cero. La masa del sistema es la suma de las masas del agua y de la pelota: $m_{w+b}=m_w + m_b$ . La gravedad ejerce una fuerza descendente de $g m_{w+b} = g(m_w+m_b)$ . Ignorando la presión atmosférica, la única otra fuerza es la del fondo de los frascos sobre el agua. Ésta debe oponerse exactamente al peso del sistema agua+bola para tener una fuerza neta de cero. Por tanto, la fuerza transmitida al lado izquierdo de la balanza es $W_l = g(m_f+m_w+m_b)$ donde $m_f$ es la masa del matraz. En la derecha, sólo está la masa del agua y del matraz, por lo que la fuerza transmitida a la balanza de la derecha es $g(m_f+m_w)$ o $g m_b$ menos que la de la izquierda. La balanza se inclina hacia la izquierda.

Nótese que he ignorado las fuerzas sobre la cuerda, la flotabilidad y la presión. Invocando estas fuerzas se obtiene la misma respuesta que antes, pero con mucho más esfuerzo. La pelota tiene tres fuerzas que actúan sobre ella, la gravitación ( $W_b = g m_b$ hacia abajo), la flotabilidad ( $B=g \rho_w V_b$ hacia arriba), y la tensión ( $T$ hacia abajo). La pelota está estática, por lo que $T+W_b = B$ o $T=B-W_b$ . El agua tiene tres fuerzas que actúan sobre ella, la gravitación ( $W_w = g m_w$ hacia abajo), la tercera ley se contrapone a la fuerza de flotación que el agua ejerce sobre la pelota ( $B = g \rho_w V_b$ pero ahora dirigido hacia abajo en lugar de hacia arriba), y la fuerza del fondo del matraz sobre el agua ( $F_p$ hacia arriba). La fuerza neta sobre el agua es cero, por lo que $F_p = W_w + B$ . Las fuerzas en el fondo del matraz son la tensión en la cuerda, dirigida hacia arriba, y la fuerza de presión del agua, dirigida hacia abajo: $F_f = F_p - T = (W_w + B) - (B-W_b) = W_w + W_b = g(m_w + m_b)$ .

Algunos dirán "¿pero cómo se transmite la fuerza de reacción a la buoya al fondo del matraz?". Obsérvese que no he invocado la tercera ley de Newton en el contexto de la reacción a la fuerza de flotación que acaba actuando en el fondo del matraz. He utilizado el análisis estático. La explicación de cómo esta fuerza se transmite finalmente al fondo del matraz es a través de la presión. La fuerza que ejerce el matraz sobre el agua es igual pero opuesta a la fuerza que ejerce el agua sobre el matraz, y esto es presión por área. La presencia de la bola eleva la altura de la parte superior del agua en la cantidad necesaria para acomodar el volumen de la bola, y esto aumenta la presión en el fondo del matraz. Si el matraz es cilíndrico, el cálculo es bastante sencillo: $\Delta h = V_b/A$ y por lo tanto $\Delta P = \rho g \Delta h A = \rho g V_b$ . Esa es la magnitud de la fuerza de flotación.

Experimento #2: Sin pelota de ping pong a la izquierda, pelota de acero suspendida a la derecha

Ahora la balanza se inclinará hacia la derecha. Hay una forma fácil, una forma difícil y una forma más difícil de resolver esto. La forma más difícil implica la presión, y el resultado será el mismo que los otros dos enfoques. Voy a obviar la presión. La forma fácil es un análisis estático. El agua ejerce una fuerza de flotación sobre la pelota, que ejerce una fuerza igual pero opuesta sobre el agua. El agua es estática, por lo que el fondo del matraz ejerce una fuerza sobre el agua igual a la suma de su peso y la magnitud de la fuerza de flotación: $W_w + B = g m_w + B$ . Sumando el peso del matraz se obtiene el peso total de la derecha: $W_r = g(m_f + m+w) + B$ . A la izquierda, sólo tenemos el peso del matraz y del agua. La balanza se inclina hacia la derecha.

Experimento nº 3: Pelota de ping pong anclada a la izquierda, pelota de acero suspendida a la derecha

Ahora sabemos el peso registrado por el sistema matraz+agua+pelota de ping pong a la izquierda y el peso registrado por el sistema matraz+agua+pelota de acero en suspensión ob a la derecha. Es una simple cuestión de comparar los dos: $W_r - W_l = g(m_f + m+w) + B - g(m_f+m_w+m_b) = B - g m_b$ . Ya que la pelota de ping pong flota, $B>g m_b$ para que la balanza se incline hacia la derecha.

Experimento #4: Igual que el experimento #2, pero ahora añade agua a la izquierda

Podemos simplemente añadir agua al matraz de la izquierda en el experimento nº 2 para que la balanza se equilibre. Cuando lo hagamos, veremos que la balanza se equilibra cuando los niveles de agua en los dos matraces están exactamente a la misma altura sobre el fondo del matraz. (Este es el argumento de la presión.) Si medimos la cantidad de agua añadida, será igual en volumen al volumen de la bola. (Este es el argumento de la flotabilidad).

Experimento nº 5: Pelota de ping pong anclada a la izquierda, frasco izquierdo del experimento #4 a la derecha

Como los dos matraces del experimento nº 4 tienen el mismo peso, la balanza seguirá inclinándose hacia la derecha, igual que en el experimento nº 3. Si observamos los dos matraces, veremos que el nivel de agua en ellos es el mismo.

Experimento nº 6: Pelota de ping pong anclada a la izquierda, pelota de ping pong aplastada anclada a la derecha

Aquí sustituimos la pelota de acero del experimento nº 3 por una pelota de ping pong aplastada y anclada desde el fondo. Dado que la fuerza de flotación se anula en el sistema de pelota de ping pong+agua (véase el experimento nº 1), se podría pensar que la prueba de la pelota de ping pong intacta frente a la aplastada se equilibrará. Pero no es así. La pelota de ping pong intacta pesa un poco más. Tiene unos 4 centigramos de aire en su interior. Esto forma parte de la medición de la izquierda, pero no de la derecha. El sistema con la pelota de ping pong intacta es ligeramente más pesado. Dado que nuestra balanza es precisa hasta el nivel de los subcentigramos, la balanza se inclinará hacia la izquierda en este experimento.

Lo anterior es incorrecto. El nivel del agua será un poco más bajo en el lado de la pelota de ping pong aplastada. A menos que las pelotas de ping pong se inflen a una presión considerablemente mayor que la atmosférica, la presión ligeramente mayor en el lado de la pelota de ping pong aplastada compensará más o menos la reducción de la masa.

Experimento nº 7: Sustituye la pelota de acero del experimento nº 2 por una pelota de ping pong intacta

Por último, sustituyamos la cuerda unida a la torre que suspende la bola de acero en el agua por una varilla rígida unida a la torre que obliga a sumergir una bola de ping pong bajo el agua. El resultado será idéntico al del experimento nº 2. La fuerza de flotación es igual al volumen, no a la masa. No importa qué tipo de pelota utilicemos mientras el volumen siga siendo el mismo. El efecto sobre la torre será, por supuesto, notablemente diferente, pero la torre no forma parte de los sistemas que estamos pesando.

Answer 5

Bueno, me equivoqué gravemente y pido disculpas a aquellos a quienes difamé.

Me parecía fácil: el agua en ambos recipientes tiene el mismo peso, así que pensé que quitarla no haría ninguna diferencia en el equilibrio. Estaba equivocado: quitar el agua del recipiente de la mano derecha sí tiene un efecto, la presencia de la bola suspendida agrega peso extra a éste, por lo que la balanza de la mano derecha desciende.

Hice algunos experimentos para verificar esto, usando una taza de plástico en una balanza digital sensible, me limité al peso máximo que la balanza mostraba, a 200 gramos en total, lo que limitó cómo hice las pruebas. Fotografié los resultados (disculpas por los fondos, ignore la etiqueta verde) :

. La primera foto (arriba a la izquierda) muestra la taza con agua y un trozo de plástico atado en la parte inferior. La segunda (arriba a la derecha) tiene el plástico removido y colgado en el borde de la taza, arriba del agua, y muestra que no hay diferencia en el peso. Esto fue lo que esperaba. La tercera imagen (abajo a la izquierda) muestra solo el agua (el gancho se cayó y lo descarté), observe el peso, y la foto final tiene un peso de prueba de acero de 100 gramos suspendido en el agua, y, para mi sorpresa inicial, el peso mostrado en la balanza aumentó. Entonces la conclusión correcta es que la balanza de la mano derecha descenderá.

Como experimento final, no fotografiado, anoté el nivel de agua y la lectura de la balanza antes de bajar el peso de acero. Después de bajar el peso por debajo de la superficie, retiré el agua de vuelta al mismo nivel. Es decir, retiré el agua que fue desplazada por el peso, y la lectura de la balanza volvió a ser la original. Para mí esto muestra que el peso adicional en la balanza cuando la masa pesada está sumergida, es igual al peso del agua desplazada.

Esto lleva a una explicación simple de por qué la balanza de la mano derecha se inclina. Retire la bola de acero e imagine que deja atrás un agujero en el agua exactamente del mismo tamaño que la bola, de manera que el nivel general de la superficie del agua sea el mismo que cuando la bola aún está sumergida. Imagine que este agujero se llena con agua extra: entonces las fuerzas sobre la gota esférica de agua que reemplaza a la bola son exactamente las mismas que las que actuaron sobre la bola suspendida. Para mí esto muestra que la presencia de la bola agrega un peso igual al del volumen de agua desplazada.

También muestra que las únicas dos cosas que importan sobre el objeto suspendido son su volumen, y que es más denso que el agua. Su peso y forma son irrelevantes (siempre y cuando no atrape aire adicional al ser bajado por debajo de la superficie.)

Ahora me doy cuenta de que algo muy similar se ha dicho en comentarios y respuestas ya dados, y aunque llegué a esto por mi cuenta, aprecio y reconozco su perspicacia previa.