¿Hacia qué lado se inclina la balanza?

Question

Encontré el problema descrito en la imagen adjunta en internet. En las secciones de comentarios había dos soluciones opuestas. Esto me hizo preguntarme cuál de ellas sería la solución real.

Así que básicamente la pregunta sería la siguiente. Supongamos que tendríamos dos probetas idénticas, llenas con la misma cantidad del mismo líquido, digamos agua. En la probeta izquierda se pegaría una pelota de ping pong en la parte inferior de la probeta con un cordón y sobre la probeta derecha se colgaría una pelota de acero del mismo tamaño (volumen) que la pelota de ping pong con un cordón, sumergiendo la pelota de acero en el agua como se muestra en la imagen. Si ambas probetas se colocaran en una balanza, ¿hacia qué lado se inclinaría?

Según internet, cualquiera de las siguientes respuestas se creía que era la solución.

1. El lado izquierdo se inclinaría hacia abajo, porque la pelota de ping pong y el cordón añaden masa al lado izquierdo, ya que están conectados al sistema.
2. El lado derecho se inclinaría hacia abajo, debido a la flotabilidad del agua en la pelota de acero empujando la pelota de acero hacia arriba y la balanza hacia abajo.

Ahora, ¿cuál sería la solución según la física?

Answer 1

Aquí está un diagrama corporal libre de las pelotas:

...y uno del volumen de agua:

Las cuatro ecuaciones de equilibrio son

$$ \begin{align} B_1 - T_1 - m_1 g & =0 \\ B_2 + T_2 - m_2 g & = 0 \\ F_1 + T_1 - B_1 - M g & = 0 \\ F_2 - B_2 - M g & = 0 \end{align} $$

donde $\color{magenta}{B_1}$,$\color{magenta}{B_2}$ son las fuerzas de flotación, $\color{red}{T_1}$,$\color{red}{T_2}$ son las tensiones de cuerda y $M g$ es el peso del agua, $m_1 g$ el peso de la pelota de ping pong y $m_2 g$ el peso de la pelota de acero.

Resolviendo lo anterior nos da

$$\begin{align} F_1 & = (M+m_1) g \\ F_2 & = M g + B_2 \\ T_1 & = B_1 - m_1 g \\ T_2 & = m_2 g - B_2 \end{align} $$

Por lo tanto, se inclinará hacia la derecha si la fuerza de flotación de la pelota de acero $B_2$ es mayor que el peso de la pelota de ping pong $m_1 g$.

$$\boxed{F_2-F_1 = B_2 - m_1 g > 0}$$

Esta es la misma respuesta que @rodrigo pero con diagramas y ecuaciones.

Answer 2

El peso en el recipiente izquierdo sería el peso del agua más jarrón más la pelota de ping-pong (más el hilo, que se ignora).

El peso en el recipiente derecho sería el peso del agua más jarrón más la flotabilidad de la bola de acero (más la flotabilidad del hilo sumergido, que se ignora). Esa flotabilidad es el peso de un volumen equivalente de agua.

Dado que la pelota de ping-pong es más ligera que el agua, la balanza se inclinará hacia la derecha.

¿Por qué es ese el peso en el recipiente derecho? Míralo de esta manera: la bola está en equilibrio, por lo que la suma de todas las fuerzas sobre ella será 0. Estas fuerzas son el peso, la tensión en el hilo y la flotabilidad. Por lo tanto, la tensión en el hilo es $tensión = bola - flotabilidad$ (¿obvio?). Y el peso en la placa derecha es la suma de todos los pesos menos la tensión en el hilo. Es decir, $agua + jarrón + bola - tensión$, lo cual es lo mismo que $agua + jarrón + flotabilidad$.

Answer 3

Un experimento mental

Podemos llegar a una explicación intuitiva sin necesidad de tener conocimientos especiales de física. La estrategia es recrear la configuración lo más fielmente posible manteniendo los dos lados en equilibrio.

Imagina que empiezas con dos probetas idénticas, llenas con la misma cantidad de agua, sin pelotas. Colocadas en la balanza, están en equilibrio.

En el lado izquierdo, coloca una pelota de ping-pong con un hilo colgando. Vamos a suponer que el hilo y las paredes de la pelota son de peso despreciable. Con esa aproximación, las balanzas siguen en equilibrio. (Después de todo, lo único que hemos hecho es dar un nombre a una esfera arbitraria de aire sobre el agua.)

Luego, finge que hay un duende del agua en el fondo de la probeta izquierda, operando una polea, apretando la cuerda. Nuevamente, esto no tiene efecto en la balanza, ya que el cambio de configuración en la probeta izquierda es autocontenido. La pelota se hunde y el nivel del agua sube.

En el lado derecho, baja una pelota permeable en el agua, suspendida de un hilo. (Pretende que las paredes de la pelota son de peso despreciable.) La pelota se llena de agua que ya estaba en la probeta. Nuevamente, la balanza permanece en equilibrio, ya que todo lo que hemos hecho es dar un nombre a una esfera arbitraria de agua.

Supongamos que hay un Rey Midas dentro de la pelota derecha, convirtiendo agua en oro, o acero, o cualquier material más denso. No importa, ya que cualquier peso adicional será soportado por el hilo que sostiene la pelota derecha.

Hasta ahora, las balanzas permanecen en equilibrio. Pero ¿cuál es la diferencia entre el escenario hasta ahora y el que planteaste en tu pregunta? El nivel de agua a la derecha no subió cuando bajamos la pelota porosa en la probeta derecha, como lo haría si bajáramos una pelota de acero sólido.

Así que, vierte una cantidad de agua en la probeta derecha equivalente al volumen de la pelota de acero, ¡y habrás recreado la configuración! Por supuesto, la balanza entonces se inclinaría hacia la derecha.

Answer 4

Me sorprende que esto sea tan confuso para algunos. Esto es demasiado largo para ser un comentario, así que lo convierto en una respuesta. La versión TL;DR: Las respuestas que dicen que la balanza se inclinará hacia la derecha son correctas. El vaso de precipitados lleno de agua con la bola de acero suspendida desde arriba es más pesado que el vaso que contiene la bola de ping pong anclada desde abajo.

Supuestos

• Los dos frascos son idénticos. Para que esto sea así, hasta el punto de dividir los pelos, vamos a colocar un conector en el fondo de ambos matraces. El conector servirá para anclar al fondo la pelota de ping pong de la izquierda. Necesitamos ese mismo conector, sin usar, en la derecha para que los matraces sean idénticos.
• Los dos matraces contienen cantidades idénticas de agua.
• La pelota de ping pong y la de acero tienen el mismo tamaño y están totalmente suspendidas en el agua.
• La pelota de ping pong es menos densa que el agua, mientras que la pelota de acero es, por supuesto, más densa que el agua.
• Las cuerdas tienen una masa insignificante.
• Las balanzas son muy sensibles y pueden detectar las diferencias de masa hasta el nivel de los subcentrómetros.

Experimento nº 1: Pelota de ping pong anclada a la izquierda, sin pelota de acero a la derecha

Esta es fácil: el lado izquierdo es más pesado. Una explicación sencilla es considerar el agua + la pelota de ping pong de la izquierda como un sistema. Este sistema es estático, por lo que la fuerza neta es cero. La masa del sistema es la suma de las masas del agua y de la pelota: $m_{w+b}=m_w + m_b$ . La gravedad ejerce una fuerza descendente de $g m_{w+b} = g(m_w+m_b)$ . Ignorando la presión atmosférica, la única otra fuerza es la del fondo de los frascos sobre el agua. Ésta debe oponerse exactamente al peso del sistema agua+bola para tener una fuerza neta de cero. Por tanto, la fuerza transmitida al lado izquierdo de la balanza es $W_l = g(m_f+m_w+m_b)$ donde $m_f$ es la masa del matraz. En la derecha, sólo está la masa del agua y del matraz, por lo que la fuerza transmitida a la balanza de la derecha es $g(m_f+m_w)$ o $g m_b$ menos que la de la izquierda. La balanza se inclina hacia la izquierda.

Nótese que he ignorado las fuerzas sobre la cuerda, la flotabilidad y la presión. Invocando estas fuerzas se obtiene la misma respuesta que antes, pero con mucho más esfuerzo. La pelota tiene tres fuerzas que actúan sobre ella, la gravitación ( $W_b = g m_b$ hacia abajo), la flotabilidad ( $B=g \rho_w V_b$ hacia arriba), y la tensión ( $T$ hacia abajo). La pelota está estática, por lo que $T+W_b = B$ o $T=B-W_b$ . El agua tiene tres fuerzas que actúan sobre ella, la gravitación ( $W_w = g m_w$ hacia abajo), la tercera ley se contrapone a la fuerza de flotación que el agua ejerce sobre la pelota ( $B = g \rho_w V_b$ pero ahora dirigido hacia abajo en lugar de hacia arriba), y la fuerza del fondo del matraz sobre el agua ( $F_p$ hacia arriba). La fuerza neta sobre el agua es cero, por lo que $F_p = W_w + B$ . Las fuerzas en el fondo del matraz son la tensión en la cuerda, dirigida hacia arriba, y la fuerza de presión del agua, dirigida hacia abajo: $F_f = F_p - T = (W_w + B) - (B-W_b) = W_w + W_b = g(m_w + m_b)$ .

Algunos dirán "¿pero cómo se transmite la fuerza de reacción a la buoya al fondo del matraz?". Obsérvese que no he invocado la tercera ley de Newton en el contexto de la reacción a la fuerza de flotación que acaba actuando en el fondo del matraz. He utilizado el análisis estático. La explicación de cómo esta fuerza se transmite finalmente al fondo del matraz es a través de la presión. La fuerza que ejerce el matraz sobre el agua es igual pero opuesta a la fuerza que ejerce el agua sobre el matraz, y esto es presión por área. La presencia de la bola eleva la altura de la parte superior del agua en la cantidad necesaria para acomodar el volumen de la bola, y esto aumenta la presión en el fondo del matraz. Si el matraz es cilíndrico, el cálculo es bastante sencillo: $\Delta h = V_b/A$ y por lo tanto $\Delta P = \rho g \Delta h A = \rho g V_b$ . Esa es la magnitud de la fuerza de flotación.

Experimento #2: Sin pelota de ping pong a la izquierda, pelota de acero suspendida a la derecha

Ahora la balanza se inclinará hacia la derecha. Hay una forma fácil, una forma difícil y una forma más difícil de resolver esto. La forma más difícil implica la presión, y el resultado será el mismo que los otros dos enfoques. Voy a obviar la presión. La forma fácil es un análisis estático. El agua ejerce una fuerza de flotación sobre la pelota, que ejerce una fuerza igual pero opuesta sobre el agua. El agua es estática, por lo que el fondo del matraz ejerce una fuerza sobre el agua igual a la suma de su peso y la magnitud de la fuerza de flotación: $W_w + B = g m_w + B$ . Sumando el peso del matraz se obtiene el peso total de la derecha: $W_r = g(m_f + m+w) + B$ . A la izquierda, sólo tenemos el peso del matraz y del agua. La balanza se inclina hacia la derecha.

Experimento nº 3: Pelota de ping pong anclada a la izquierda, pelota de acero suspendida a la derecha

Ahora sabemos el peso registrado por el sistema matraz+agua+pelota de ping pong a la izquierda y el peso registrado por el sistema matraz+agua+pelota de acero en suspensión ob a la derecha. Es una simple cuestión de comparar los dos: $W_r - W_l = g(m_f + m+w) + B - g(m_f+m_w+m_b) = B - g m_b$ . Ya que la pelota de ping pong flota, $B>g m_b$ para que la balanza se incline hacia la derecha.

Experimento #4: Igual que el experimento #2, pero ahora añade agua a la izquierda

Podemos simplemente añadir agua al matraz de la izquierda en el experimento nº 2 para que la balanza se equilibre. Cuando lo hagamos, veremos que la balanza se equilibra cuando los niveles de agua en los dos matraces están exactamente a la misma altura sobre el fondo del matraz. (Este es el argumento de la presión.) Si medimos la cantidad de agua añadida, será igual en volumen al volumen de la bola. (Este es el argumento de la flotabilidad).

Experimento nº 5: Pelota de ping pong anclada a la izquierda, frasco izquierdo del experimento #4 a la derecha

Como los dos matraces del experimento nº 4 tienen el mismo peso, la balanza seguirá inclinándose hacia la derecha, igual que en el experimento nº 3. Si observamos los dos matraces, veremos que el nivel de agua en ellos es el mismo.

Experimento nº 6: Pelota de ping pong anclada a la izquierda, pelota de ping pong aplastada anclada a la derecha

Aquí sustituimos la pelota de acero del experimento nº 3 por una pelota de ping pong aplastada y anclada desde el fondo. Dado que la fuerza de flotación se anula en el sistema de pelota de ping pong+agua (véase el experimento nº 1), se podría pensar que la prueba de la pelota de ping pong intacta frente a la aplastada se equilibrará. Pero no es así. La pelota de ping pong intacta pesa un poco más. Tiene unos 4 centigramos de aire en su interior. Esto forma parte de la medición de la izquierda, pero no de la derecha. El sistema con la pelota de ping pong intacta es ligeramente más pesado. Dado que nuestra balanza es precisa hasta el nivel de los subcentigramos, la balanza se inclinará hacia la izquierda en este experimento.

Lo anterior es incorrecto. El nivel del agua será un poco más bajo en el lado de la pelota de ping pong aplastada. A menos que las pelotas de ping pong se inflen a una presión considerablemente mayor que la atmosférica, la presión ligeramente mayor en el lado de la pelota de ping pong aplastada compensará más o menos la reducción de la masa.

Experimento nº 7: Sustituye la pelota de acero del experimento nº 2 por una pelota de ping pong intacta

Por último, sustituyamos la cuerda unida a la torre que suspende la bola de acero en el agua por una varilla rígida unida a la torre que obliga a sumergir una bola de ping pong bajo el agua. El resultado será idéntico al del experimento nº 2. La fuerza de flotación es igual al volumen, no a la masa. No importa qué tipo de pelota utilicemos mientras el volumen siga siendo el mismo. El efecto sobre la torre será, por supuesto, notablemente diferente, pero la torre no forma parte de los sistemas que estamos pesando.

Answer 5

Bueno, me equivoqué gravemente y pido disculpas a aquellos a quienes difamé.

Al principio parecía fácil: el agua en ambos recipientes tiene el mismo peso, así que pensé que quitarla no haría ninguna diferencia en el equilibrio. Estaba equivocado: quitar el agua del recipiente de la mano derecha sí tiene un efecto, la presencia de la bola suspendida añade peso adicional, por lo que la bandeja de la mano derecha desciende.

Hice algunos experimentos para comprobar esto, utilizando un vaso de plástico en una balanza digital sensible, y estaba limitado por el peso máximo que la balanza mostraba, de 200 gramos en total, lo que limitó cómo hice las pruebas. Fotografié los resultados (disculpas por los fondos, ignora la etiqueta verde):

. La primera foto (arriba a la izquierda) muestra el vaso con agua y una pieza de plástico atada al fondo. La segunda (arriba a la derecha) tiene el plástico retirado y colgado en el borde del vaso, por encima del agua, y muestra que no hay diferencia en el peso. Esto era lo que esperaba. La tercera imagen (abajo a la izquierda) muestra solo el agua (el anzuelo se cayó y lo descarté), nota el peso, y la foto final tiene un peso de prueba de acero de 100 gramos suspendido en el agua, y, para mi sorpresa inicial, el peso mostrado en la balanza ha aumentado. Así que la conclusión correcta es que la bandeja de la mano derecha descenderá.

Como experimento final, que no fue fotografiado, anoté el nivel del agua y la lectura de la balanza antes de bajar el peso de acero. Después de bajar el peso por debajo de la superficie retiré el agua hasta el mismo nivel. Es decir, quité el agua que fue desplazada por el peso, y la lectura de la balanza volvió a la original. Para mí esto muestra que el peso adicional en la bandeja cuando la masa pesada está sumergida, es igual al peso del agua desplazada.

Esto lleva a una explicación simple de por qué la bandeja de la mano derecha se inclina. Quita la bola de acero e imagina que deja un agujero en el agua exactamente del mismo tamaño que la bola, de manera que el nivel general de la superficie del agua sea el mismo que si la bola siguiera sumergida. Imagina que este agujero se llena con agua extra: entonces las fuerzas en la masa esférica de agua que ha reemplazado a la bola son exactamente las mismas que las que actuaron sobre la bola suspendida. Para mí esto muestra que la presencia de la bola añade un peso igual al del volumen de agua desplazada.

También muestra que las únicas dos cosas que importan sobre el objeto suspendido son su volumen y que es más denso que el agua. Su peso y forma son inmateriales (siempre y cuando no atrape aire adicional al ser bajado por debajo de la superficie).

Me doy cuenta ahora de que algo muy similar ya ha sido mencionado en comentarios y respuestas previamente dados, y aunque llegué a esto por mi cuenta, aprecio y reconozco su visión previa.