¿Esto es Riemann-Integrable?

Question

Que $\lfloor x\rfloor$ ser la función de parte entera. Que %#% $ #%

¿Es $$f(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} \lfloor nx\rfloor$ Riemann-Integrable? Gracias de antemano

Answer 1

Deje $[a, b]$ ser un intervalo cerrado. Vamos a considerar la integrabilidad de Riemann de $f$$[a, b]$.

La función de $g_n(x) = \left(-\frac{1}{2}\right)^n \lfloor n x \rfloor$ es discontinua en a $\frac{1}{n} \Bbb Z$ y continua en todas partes. Se tiene un número finito de discontinuidades en $[a, b]$. Por lo tanto, es Riemann integrable en $[a, b]$.

Poner $M = \lceil \max(|a|, |b|) \rceil$. Tenemos:

$$ |g_n(x)| = \left| \left(-\frac{1}{2}\right)^n \lfloor n x \rfloor\right| \le M \left(\frac{1}{2}\right)^n n $$

Desde $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n n$ converge, $f(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^\infty g_n(x)$ converge uniformemente por el M de Weierstrass de la prueba. Por lo tanto $f$ es Riemann integrable.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ f (x) = \sum_ {n = 0} ^ \infty \frac {(-1) ^ n} {2 ^ n} \lfloor nx\rfloor =-\frac {2 x} {9}-\sum_ {n = 0} ^ \infty \frac {(-1) ^ n} {2 ^ n} \ {nx\} $$ por lo que es restos que demuestran que el $$ de la función g (x) = \sum_ {n = 0} ^ \infty \frac {(-1) ^ n} {2 ^ n} \ {nx\} $ es Riemann integrable. Ahora sigue los mismos pasos que en esta respuesta a la conclusión de que $g$ es Riemann integrable.