Definición de números naturales sin $0$ o $1$.

Question

Vamos a definir los axiomas de Peano tener $2$ como el primer número:

1. $\newcommand\Nt{\mathbb N''}2\in\Nt$.
2. $\newcommand\next{\mathop{\mathrm{next}}}\forall n\in\Nt:\next n\in\Nt$ (o $\next:\Nt\to\Nt$).
3. $\forall n,m\in\Nt:\next n=\next m\implies n=m$.
4. $\forall n\in\Nt:\next n\ne2$.
5. $\forall A\subseteq\Nt:(2\in A,\wedge,\forall n\in A:\next n\in A)\implies A=\Nt$.

Se definen dos operadores y una relación de orden $\langle\Nt,+,\cdot,<\rangle$ como seguir.

Orden:

1. $<\subset\Nt\times\Nt$.
2. $\forall n,m\in\Nt:n<m,\veebar,m<n,\veebar,n=m$.
3. $\forall n\in\Nt:n<\next n$.
4. $\forall n,m,p\in\Nt:n<m,\wedge,m<p\implies n<p$.

Además:

1. $+:\Nt\times\Nt\to\Nt$.
2. $\forall n\in\Nt:n+2=\next\next n$.
3. $\forall n,m\in\Nt:n+\next m=\next(n+m)$.

Multiplicación:

1. $\cdot:\Nt\times\Nt\to\Nt$.
2. $\forall n\in\Nt:n\cdot2=n+n$.
3. $\forall n,m\in\Nt:n\cdot\next m=(n\cdot m)+n$.

Estamos definiendo $\Nt$ los números naturales con $2$ como el primer elemento.

Algunas propiedades de $\Nt$:

1. Un número primo es un número que no tiene adecuada divisores.
2. Dos números de $n,m$ co-primos, si no tienen $\gcd$.
3. El teorema fundamental de la aritmética no tiene que excluir $1$ o $0$ pero se hace raro por no ser capaces de definir $p_k^1$: $p_k$ no es parte de la primer expansión, es parte, o se parte con un exponente.

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Que los teoremas, lemas o definiciones de aritmética y teoría de números se convertiría en la más engorroso para formular en $\Nt$ frente al $\mathbb N$ (con o sin $0$)?

Que los teoremas, lemas o definiciones de aritmética y teoría de números sería más fácil formular en $\Nt$?

Answer 1

No hay ninguna diferencia en la potencia expresiva. La única gente que se ha dado cuenta de que incluso la más mínima diferencia entre el lenguaje y la teoría de la $\mathbb{N}$ $\mathbb{N}''$ son el puñado de personas que, como el estudio de los primeros pasos de cómo se derivan de la teoría de los axiomas y definiciones. Que todo el mundo utiliza los números enteros, los números racionales, máquinas de Turing, y todo lo demás se construye fuera de los axiomas de Peano exactamente de la misma manera.

Cómo estudiar la semigroups, o semigroups con la multiplicación (acabo de hacer hasta que la frase: "yo no sé un verdadero frase) es una cuestión diferente.

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Puede ayudar a darse cuenta de que el álgebra $\langle \mathbb{N}'', +, \cdot \rangle$ es isomorfo al álgebra $\langle \mathbb{N}, +'', \cdot'' \rangle$ definido por

• $ a +'' b = a + b + 2 $
• $ a \cdot'' b = (a+2) \cdot (b+2) - 2 = a \cdot b + 2 \cdot (a+b + 1)$