${a_n}$ para una secuencia que contiene no ceros

Question

Tomar la secuencia de números naturales que no contienen el dígito cero.

Así se convierte en la secuencia:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12...

¿Podemos encontrar una expresión para ${a_n}$?

Answer 1

Hay miembros de $9^m$ $\{a_n\}$ $m$ dígitos. Después de eso, los miembros de dígitos $(m+1)$ $\{a_n\}$ siguen la regla que $a_n = a_{\left(n-9^m\right)} + 10^m.$ y luego se repite el patrón.

Answer 2

Sí. $a_{n}=n+p(n)$ donde $p(n)$ es el número de números naturales en la mayoría de las $n$ que contienen un dígito cero. Hay un bonito combinatoria manera de hacer esto si usted escribe los dígitos en base 10 de $n$. La manera de recuento $p(n)$ es para escribir $n=d_{m}d_{m-1}...d_{2}d_{1}d_{0}$ donde cada una de las $d_{i}$ es un dígito decimal de $n$. Entonces, ¿cuántos números se puede hacer que tengan un cero en algún lugar de allí y son más pequeños que (o igual a) $n$? La construcción de un número (con un dígito cero) que es $b_{m}b_{m-1}...b_{2}b_{1}b_{0}$. $b_{m}\leq d_{m}$. Si $b_{m}<d_{m}$, entonces usted solucionarlo, y contar cuántas $m-1$ números de dos dígitos con un cero. Repetir, repetir. No debe ser una "buena" fórmula que involucra una suma y el producto de los coeficientes binomiales.

Answer 3

Hay una muy buena caracterización de $a_n$ en la Enciclopedia en Línea de Secuencias de Enteros entrada para esta secuencia (A052382), lo cual se atribuye a Robin García. Aquí es cómo va.

El número de $a_n$ $\sum_{i=0}^k d_i {10}^i$ (es decir, la base-10 número de $d_kd_{k-1}\dots d_0$), donde $d_kd_{k-1}\dots d_0$ es la representación de $n$ en "modificación de la base 9," que tiene el mismo valor de la interpretación de la base 9, pero utiliza los dígitos $1$ a través de $9$ en lugar de la habitual base de 9 dígitos $0$ a través de $8$. (Cada entero positivo tiene una representación única en la "modificación de la base 9.")

Por ejemplo, para encontrar $a_{118349}$, escribe $118349$ en base regular $9$: $118349_{ten}={200308}_{nine}$. Ahora, los ceros no son permitidos en la modificación de la base 9, por lo que eliminarlos de derecha a izquierda por los "préstamos nueve" de la izquierda y agregar para cada cero que encuentro: $${118349}_{ten}={200\color{red}{\it 30}8}_{nine}=200\color{red}{\bf 29}8_{nine}=\color{blue}{\it 200}298_{nine}=\color{blue}{\bf 189}298_{nine}.$$

Por lo tanto $a_{118349}=189298.$ encontrar la base modificada-9 representación de $118349$, tenemos que "pedir prestado" dos veces: $$30_{nine}=3\cdot9+0=2\cdot9+9=29_{nine};$$ $$200_{nine}=2\cdot9^2+0\cdot9+0=1\cdot9^2+9\cdot9+0=1\cdot9^2+8\cdot9+9=189_{nine}.$$