Su pregunta es, de hecho, pidiendo la muestra finita de distribución
de $r_{N}$. A la dirección de su pregunta, permítanme reformular en términos
de regresiones lineales. Así un vínculo entre la $r_{N}$ y el ordinario
de mínimos cuadrados (OLS) estimador podría ser resaltado. Usted observar dos
variables$\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{N}$$\left\{ y_{i}\right\} _{i=1}^{N}$,
y ellos no están correlacionados. Supongamos que se ejecuta una regresión lineal entre
$y_{i}$ $x_{i}$,
$$
y_{i}=\beta x_{i}+u_{i},\quad i=1,\ldots,N.
$$
Desde $y_{i}$ $x_{i}$ no están correlacionados, el verdadero valor de $\beta$
es $0$. Tenga en cuenta que el estimador de MCO de $\beta$ es
$$
\hat{\beta}_{N}=\frac{\sum_{i=1}^{N}x_{i}y_{i}}{\sum_{i=1}^{N}x_{i}x_{i}}=\frac{N^{-1}\sum_{i=1}^{N}x_{i}y_{i}}{N^{-1}\sum_{i=1}^{N}x_{i}x_{i}}.
$$
Aquí el numerador de $\hat{\beta}_{N}$ es el $r_{N}$. Yo no
imponer cualquier distribución de los supuestos acerca de la $x_{i}$$y_{i}$, por lo que
no hay pérdida de generalidad en que se incurrió. Basado en esta relación, podemos
enfoque su pregunta mediante la distribución de $\hat{\beta}_{N}$.
Sin embargo, es bien sabido que la muestra finita de distribución de $\hat{\beta}_{N}$
no está disponible en la mayoría de los casos. En consecuencia, mi conclusión es pesimista
en que el 'exacta' respuesta a su pregunta podría no existir en la mayoría de los
de los casos. Pero un aproximado de $\tilde{N}$ puede ser fácil de encontrar desde $\hat{\beta}_{N}$
es asintóticamente normal.
En primer lugar, considerar una muestra finita caso. Si $\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{N}$ se fija en el experimento,
y $\left\{ y_{i}\right\} _{i=1}^{N}$ son yo.yo.d. normal con una media de
$0$ y la varianza $\sigma^{2}$. Entonces es bien conocido que
$$
\hat{\beta}_{N}\mid x_{1},\ldots,x_{N}\sim N\left(\beta\frac{\sigma^{2}}{N}\left(\frac{\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}\right)^{-1}\right).
$$
En consecuencia,
$$
r_{N}\mid x_{1},\ldots,x_{N}\sim N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{N}\left(\frac{\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}\right)\right).
$$
Denotar $\sigma_{r,N}^{2}=\left(\sigma^{2}/N\right)\left(\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}/N\right)$,
y tenga en cuenta que $\sigma_{r,N}$ es monótona decreciente con respecto
a $N$. Luego se le da $\varepsilon$,$\Pr\left(\left|r_{N}\right|<\varepsilon\right)=1-2\Phi\left(-\varepsilon/\sigma_{r,N}\right)$.
Por dejar que $ $$1-2\Phi\left(-\varepsilon/\sigma_{r,N}\right)=\alpha$,
usted puede solucionar $\tilde{N}$. (Comentario: creo que usted está solicitando dicha
un $\tilde{N}$ que $\Pr\left(\left|r_{N}\right|<\varepsilon\right)\geq\alpha$
para todos los $N>\tilde{N}$.) Pero estos argumentos se basan en las propiedades
de distribuciones normales.
A continuación, considere la ampliación de la muestra de casos ($N\rightarrow \infty$), donde $x_i$ podría ser al azar. Supongamos $\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{N}$ $\left\{ y_{i}\right\} _{i=1}^{N}$
satisfacer la regularidad de las condiciones de la LLN y CLT. Asintóticamente,
tenemos
$$
\hat{\beta}_{N}\rightarrow_{d}N\left(\beta\frac{\sigma^{2}}{N}P^{-1}\right)\quad Q=\mathrm{{plim}}_{N\rightarrow\infty}\frac{\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N},
$$
donde $\sigma^{2}$ es la variación de $y_{i}$. Por Slutsky lema,
tenemos
$$
r_{N}\rightarrow_{d}N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{N}P\right).
$$
Es obvio que $\sigma_{r,N}^{2}$ es un estimador consistente de
$\left(\sigma^{2}/N\right)Q$. A continuación, un aproximado de $\tilde{N}$ puede
se encuentra en la misma manera.
