Evaluar el límite $\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}\left(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}-\frac{1}{e}\right)$

Question

Evaluar

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n}\left(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}-\frac{1}{e}\right).$$

Esta secuencia se ve muy horrible y me hace loco. ¿Cómo podemos evaluar esto?

Answer 1

Usar la aproximación de Stirling: %#% $ de #% transforma su límite en $$n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\sqrt{2\pi n}=\left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\frac12 \ln 2\pi n}$ $ al obtener la primera expresión, descuidamos $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\ln n}\frac{e^{\frac{\ln n}{2n}}-1}{e}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{\frac{x}{2}}-1}{ex}=\frac{1}{2e}.$ en el exponencial (es $\frac{\ln 2\pi}{2n}$), y luego hacer el cambio de variables $o\left(\frac{\ln n}{2n}\right)$.

Answer 2

Stirling fórmula asintótica (sin ningún tipo de serie mejora) $$ n!\sim\frac{n^n}{e^n}\sqrt{2\pi n}\etiqueta{1} $$ poner en la notación de Landau es $$ n!=\frac{n^n}{e^n}\sqrt{2\pi n}\,(1+o(1))\etiqueta{2} $$ lo que da $$ \begin{align} (n!)^{1/n} &=\frac ne(2\pi n)^{\frac1{2n}}(1+o(1/n))\\ &=\frac ne\left(1+\frac{\log(2\pi n)}{2n}\right)(1+o(1/n))\\ \frac{(n!)^{1/n}}{n} &=\frac1e\left(1+\frac{\log(2\pi n)}{2n}\right)(1+o(1/n))\\ \frac{(n!)^{1/n}}{n}-\frac1e &=\frac1e\frac{\log(2\pi n)}{2n}+o(1/n)\\ \frac{n}{\log(n)}\left(\frac{(n!)^{1/n}}{n}-\frac1e\right) &=\frac1{2e}+\frac{\log(2\pi)}{2e\log(n)}+o(1/\log(n))\tag{3} \end{align} $$ Tomando el límite cuando $n\to\infty$, $(3)$ los rendimientos $$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\log(n)}\left(\frac{(n!)^{1/n}}{n}-\frac1e\right) =\frac1{2}\etiqueta{4} $$ que es el resultado buscado.

Sin embargo, $(3)$ da más $$ \lim_{n\to\infty}\log(n)\left(\frac{n}{\log(n)}\left(\frac{(n!)^{1/n}}{n}-\frac1e\right)-\frac1{2e}\right)=\frac{\log(2\pi)}{2e}\tag{5} $$

Answer 3

Existe una brecha en la solución de @O.L., como expliqué en un comentario debajo de esta solución. No tengo tiempo ahora para proporcionar una solución completa pero el OP debe ser consciente de ello. Veo que la página de wiki proporciona una fórmula con un término de error, pero el $O(1/n)$ ocurre dentro de un argumento y no se menciona como un teorema, tampoco hay una fuente para esto. Es probablemente cierto pero ten en cuenta también que tenemos el error de estimación de $\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ en lugar de $n!$ sí mismo.