Ingenuo de la teoría de conjuntos es algún término general para la teoría de conjuntos, donde los axiomas no son completamente introducido y estudiado. Se describen algunas propiedades de los conjuntos, y suelen salir con el (seguramente inconsistente) comprensión axioma esquema que esencialmente dice:
Cada definibles de la colección es un conjunto.
Pero como el paréntesis de observación señala, que el axioma esquema es inconsistente. Uno puede construir todo tipo de colecciones que no se establece. En la teoría de conjuntos ingenua que casualmente se mezcle esta preocupación a un lado y confiar en el hecho de que los conjuntos que nos vamos a encontrar van a ser los juegos. Por que la virtud, la ingenua teoría de conjuntos es a menudo de que se trate con finito de conjuntos numerables de conjuntos o con "arbitraria de conjuntos", que se supone que existen.
A pesar de su nombre, y su dolor filosófica limitación de ser incoherente, puede desarrollar un buen montón de matemáticas dentro de la teoría de conjuntos ingenua. Esto es bueno, porque este desarrollo puede ser posteriormente llevó a cabo formalmente en el [aún no incoherente] axiomático que la teoría de conjuntos.
Entonces, ¿qué es axiomático que la teoría de conjuntos? En conjunto axiomático de la teoría de que el estudiante tiene que tener algunos conocimientos básicos de la lógica, y comenzamos por escribir axiomas. A continuación, vamos a comprobar a partir de estos axiomas todo tipo de teoremas y deducir más y más información. Estos axiomas describir en un lenguaje formal cuáles son las propiedades que esperamos conjuntos de tener. Por ejemplo, podemos esperar que, si $X$ es un conjunto entonces su juego de poder es también un conjunto en sí mismo. Por lo que podemos formalizar que, como un axioma.
La teoría de conjuntos axiomática se preocupa por lo que las declaraciones de podemos demostrar de lo que los axiomas. Por ejemplo, no se puede demostrar que $A\notin A$ para cada conjunto $A$, sin atractivo para el axioma de fundación (o alguna variante del mismo). La prueba de esto unprovability es común, y muy agradable, el ejercicio en conjunto axiomático de la teoría de los libros y cursos.
Donde la ingenua teoría de conjuntos se da a menudo como algunos esquema general que establece cómo debe comportarse, y algunos conocimientos básicos de la conexión entre la teoría general y de las matemáticas, la teoría de conjuntos axiomática investigar los conjuntos de sí mismos. Cosas como el axioma de elección, la hipótesis continua, cardinales y ordinales aritmética, infinitary combinatoria, y así sucesivamente. Estos tienen las aplicaciones de las matemáticas generales fuera de la teoría de conjuntos, pero los que están siendo investigados por su propio bien.
Por último, tanto ingenua de la teoría de conjuntos y su axiomática versión en "sabores", pero mientras que la ingenua teoría de conjuntos es leve, en el sentido de que se presta menos atención a supuestos tales como "los números reales son conjuntos" o "los números reales no son conjuntos", y así sucesivamente; en la teoría de conjuntos axiomática se presta mucha atención a los supuestos de partida y la lengua en la que uno expresa estos supuestos.
Por ejemplo, $\sf ZFC$, que es una de las más comunes (si no el común) conjunto de teorías que se afirma en el lenguaje donde los objetos son conjuntos, y sólo tenemos $\in$ a definir las cosas (de la que podemos definir de la $\subseteq,\varnothing,\mathcal P(\bullet)$ y así sucesivamente, pero oficialmente sólo tenemos $\in$$=$). Por otro lado, uno de su extensión $\sf NBG$ - que usted ha mencionado - vive en un tamaño ligeramente superior idioma que permite a los objetos que no son conjuntos, llamados adecuada clases que existen en una "forma significativa" (lo que significa). Hay sutiles diferencias y similitudes entre estas dos teorías. A menudo en la teoría de conjuntos axiomática de estudiar las extensiones de $\sf ZFC$.
Existen otras teorías basadas en un enfoque de conjuntos, como las teorías en las que la noción básica es $\subseteq$ en lugar de $\in$; o teorías donde atómica en la noción de "función" en lugar de "un elemento de". Todos estos son muy muy diferentes a las teorías, incluso si a veces nos puede demostrar que terminan siendo "bastante" las mismas declaraciones sobre conjuntos. Estos también son temas de la axiomática de la teoría de conjuntos, incluso si es menos convencionales y convencionales.
