¿Se puede mover un límite de una integral hacia dentro de la integral?

Question

Después de encontrarme con esta pregunta: Cómo verificar este límite, tengo la siguiente pregunta:

¿Al tomar el límite de una integral, es válido mover el límite dentro de la integral, siempre que el límite no afecte a los límites de integración?

Por ejemplo, en la pregunta, el OP está tratando de determinar que:

$$\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1}{\frac{dx}{(1+\frac{x}{n})^{n}}}=1-\rm{e}^{-1}$$

Las respuestas a la pregunta implican evaluar la integral y luego tomar el límite para probar el resultado; pero me preguntaba si sería válido mover la integral dentro del límite, es decir:

$$\lim_{n\to\infty}{\int_{0}^{1}{\frac{dx}{(1+\frac{x}{n})^{n}}}}=\int_{0}^{1}{\lim_{n\to\infty}\frac{dx}{(1+\frac{x}{n})^{n}}}=\int_{0}^{1}{\frac{dx}{{\rm{e}}^x}}=\rm{e}^{0}-\rm{e}^{-1}=1-\rm{e}^{-1}$$

Como se requiere. Entonces, ¿es esta una técnica válida, o es simplemente casualidad que funcione?

Verificación:

$\displaystyle\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^1&\dfrac{dx}{\left(1+\dfrac xn\right)^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\dfrac{-n}{n-1}\left(1+\dfrac xn\right)^{1-n}\,\right]_0^1=\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{-n}{n-1}\left[\left(1+\dfrac1n\right)^{1-n}-1\right]=\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac n{n-1}\left[1-\left(1+\dfrac1n\right)^{1-n}\,\right]=\\ &=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac n{n-1}\left[1-\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)}{\left(1+\dfrac1n\right)^n}\,\right]=\\ &=1\cdot\left[1-\dfrac1{\rm{e}}\right]=\\ &=1-\rm{e}^{-1} \end{align}$

$\displaystyle\begin{align}\int_0^1 \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{dx}{\left(1+\dfrac xn\right)^n}&=\int_0^1\dfrac{dx}{{\rm{e}}^x}=\bigg[\!-{\rm{e}}^{-x}\bigg]_0^1=\\ &=\rm{e}^0-\rm{e}^{-1}=1-\rm{e}^{-1} \end{align}$

Answer 1

Tomar el límite dentro de la integral no siempre está permitido. Hay varios teoremas que te permiten hacerlo. Los principales son el teorema de convergencia dominada de Lebesgue y el teorema de convergencia monótona.

La convergencia uniforme mencionada en los comentarios es un caso especial del teorema de convergencia dominada.

Answer 2

El límite se puede mover dentro de la integral si la convergencia de la integranda es uniforme. En nuestro caso, si $f_n(x)=(1+\frac{x}{n})^{-n}$, entonces $$\lim_{n\to +\infty}f_n(x)=e^{-x}=f(x)$$ Necesitamos demostrar que en $[0,1]$, $$\left\|f_n-f \right\|_{\infty}\to 0$$ Pero $$\left\|f_n-f \right\|_{\infty}=\sup_{x\in [0,1]}\left|f_n(x)-f(x)\right|= \sup_{x\in [0,1]}\left|(1+\frac{x}{n})^{-n}-e^{-x}\right| $$ Necesitamos determinar el máximo de $g_n(x)=(1+\frac{x}{n})^{-n}-e^{-x}$ en $[0,1]$, o al menos mostrar que converge a $0$.

$g_n(0)=0$, $g_n(1)=(1+\frac1n)^{-n}-e^{-1}$ y $$g_n^{\prime}(x_0)=0\Leftrightarrow (1+\frac{x_0}{n})^{-n-1}=e^{-x_0}$$ Si esto es cierto, entonces $g_n(x_0)=\frac{x_0}{n}e^{-x_0}$. Por lo tanto, $$\left\|f_n-f \right\|_{\infty}=\max_{x\in [0,1]}\left|g_n(x)\right|=\max\left\{g_n(0),g_n(1),g_n(x_0)\right\}=\max\left\{0,(1+\frac1n)^{-n}-e^{-1},\frac{x_0}{n}e^{-x_0}\right\}\to 0 $$ a medida que $n\to +\infty$. La convergencia uniforme en $[0,1]$ está demostrada y se puede hacer el intercambio límite-integral

Answer 3

Hay un artículo reciente que responde exactamente a esta pregunta.

Kamihigashi, T. Interchanging a limit and an integral: necessary and sufficient conditions. J Inequal Appl 2020, 243 (2020).

https://doi.org/10.1186/s13660-020-02502-w

El resultado principal proporciona una condición necesaria y suficiente bajo la cual el límite puede moverse dentro de la integral. La condición exacta es algo complicada, pero es estrictamente más débil que la integrabilidad uniforme.