Que $X = \{1,2,3,4,5\}$. Cuál es el número de diferentes ordenaron pares $(Y,Z)$ que forma tal que
$$Y\subseteq X$$
$$Z\subseteq X$$
$$Y\cap Z=\emptyset$$
¿Cómo hacer casos en esta pregunta?
Respuestas
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Juan
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Aquí es la forma más sencilla de responder a la pregunta. Para cada uno de los miembros de $X$ tenemos tres opciones para ti: puesto que los estados en conjunto $Y$, lo puso en conjunto $Z$, o dejar de ambos $Y$$Z$. Que nos da tres opciones para cada uno de los cinco miembros: la que nos da la respuesta final
$$3^5$$
Si desea casos, solo hay que dividir este problema en seis de los casos, llame de casos $0$ a través de $5$. Cada caso se determina por el tamaño de $Y$.
Caso $0$: Set $Y$ $0$ elementos. Hay ${5 \choose 0}$ opciones para $Y$ aquí. A continuación, elija $Z$ como un subconjunto de los elementos que no fueron elegidos para $Y$. Así, para cada $Y$ hay $2^5$ posibilidades de $Z$. (Usted probablemente sabe que, dado un conjunto de tamaño $k$ el número de subconjuntos de a $2^k$.) Esto nos da un total para este caso de
$${5 \choose 0}\cdot 2^5$$
Caso $1$: Set $Y$ $1$ elemento. Hay ${5 \choose 1}$ opciones para $Y$ aquí. A continuación, elija $Z$ como un subconjunto de los elementos que no fueron elegidos para $Y$. Así, para cada $Y$ hay $2^4$ posibilidades de $Z$. Esto nos da un total para este caso de
$${5 \choose 1}\cdot 2^4$$
Estoy seguro de que usted consigue la idea y puede terminar aquí.
Si no te gusta cálculo, pero como esos casos, aquí es una manera de simplificar la suma total de todos los casos.
$$\begin{align} Total &= {5 \choose 0}2^5+{5 \choose 1}2^4+{5 \choose 2}2^3+{5 \choose 3}2^2+{5 \choose 2}2^1+{5 \choose 5}2^0 \\[2ex] &= {5 \choose 0}1^02^5+{5 \choose 1}1^12^4+{5 \choose 2}1^22^3+{5 \choose 3}1^32^2+{5 \choose 2}1^42^1+{5 \choose 5}1^52^0 \\[2ex] &= (1+2)^5 \end{align}$$
Que el colapso de la suma es de el teorema del binomio. Que, por supuesto, nos lleva de nuevo a la respuesta que tengo en el principio.
aras
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Aquí es otra manera de pensar sobre el problema.
Cada elemento puede ser 'coloreado' con el % de color $Y$, $Z$ o $0$, en base a si pertenece a $Y$, $Z$ o $0$. Desde $Y \cap Z = \emptyset$, cada elemento se puede asignar exactamente un color para cada par ordenado posible. Por ejemplo, $Y = \{ 1,2,3\}$ y $Z= \{4 \}$ daría el colorante $YYYZ0$.
Hay 3 colores diferentes y 5 símbolos, así $3^5$ colorantes posible. Cada color corresponde a un % del par $(Y,Z)$, por lo que hay $3^5$ tal ordenó a pares.
