El comentario de Sea Turtles muestra que necesitamos asumir que $n$ es par, digamos $n=2k$. Ofrezco una receta general que funciona para todos los $k\ge3$. Para agregar algo extra a la receta en el comentario de Qiaochu Yuan, añado la propiedad de que $z_n$ debería ser un entero algebraico a la lista de deseos.
Sea $\alpha=\root k\of 2 -1$. El polinomio mínimo de $\alpha$ es $(x+1)^k-2$ que es irreducible por Eisenstein, así que $[\Bbb{Q}(\alpha):\Bbb{Q}]=k$. Claramente tenemos $0<\alpha<1$, entonces si $\beta=\sqrt{1-\alpha^2}$, entonces $i\beta$ es puramente imaginario y $|\alpha+i\beta|=1.
Afirmo que $z_n=\alpha+i\beta$ funciona.
Como $i\beta$ y $\alpha$ son enteros algebraicos, entonces $z_n$ también lo es. También tenemos $[\Bbb{Q}(\alpha,i\beta):\Bbb{Q}(\alpha)]=2$. Además, $$ z_n+z_n^{-1}=2\alpha,\qquad\text{y}\qquad z_n-z_n^{-1}=2i\beta, $$ así que $\Bbb{Q}(z_n)=\Bbb{Q}(\alpha,i\beta)$. Entonces $[\Bbb{Q}(z_n):\Bbb{Q}]=2k=n$.
Queda por mostrar que $z_n$ no es una raíz de la unidad. Supongamos de forma contraria que así fuera. Por la conocida teoría de Galois de campos cíclicos, esto implica que la extensión $\Bbb{Q}(z_n)/\Bbb{Q}$ es abeliana y de Galois. Por la teoría básica de Galois, lo mismo sería cierto para la subextensión $\Bbb{Q}(\alpha)/\Bbb{Q}$. Pero $\Bbb{Q}(\alpha)=\Bbb{Q}(\root k\of 2)$ no es normal, porque el polinomio irreducible $p(x)=x^k-2$ tiene algunas pero no todas sus raíces. en esa extensión.
