Valor propio de un mapa lineal

Question

Dejemos que $V$ sea el espacio vectorial de todas las funciones continuas de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ y que $T\colon V \rightarrow V$ sea un mapa lineal definido por $T(f)(x)=\int^{x}_{0}f(t)dt$ . ¿Cómo podemos demostrar $T$ no tiene ningún valor propio?

Answer 1

Si $\lambda$ era un valor propio, y $f$ un vector propio para $\lambda$ , entonces para cada $x\in \Bbb R$ Tendríamos $$\int_0^xf(t)dt=\lambda f(x).$$ Si $\lambda$ era igual a $0$ Tendríamos $f\equiv 0$ , lo que no está permitido. Así que $\lambda\neq 0$ y como $f$ es continua, $f$ es $C^1$ como primitiva de una función continua. Así que tenemos $f(x)=\lambda f'(x)$ para todos $x$ y $f(0)=0$ . Esto da $$\left(\frac 1{\lambda}f(x)-f'(x)\right)e^{-\frac x{\lambda}}=0,$$ por lo que $f(x)=Ce^{\frac x{\lambda}}$ . Esto hace que $f(0)=C=0$ Por lo tanto $f\equiv 0$ .