Sé que $ \text {A} \textbf {x}= \lambda \textbf {x}$ donde $ \textbf {x}$ es el eigenvector correcto, mientras que en $ \textbf {y} \text {A}= \lambda \textbf {y}$ , $ \textbf {y}$ es el vector propio izquierdo. ¿Pero qué significado tienen los vectores propios izquierdo y derecho? ¿Cómo se diferencian geométricamente?
Los vectores propios (derecha) de $A$ corresponden a líneas a través del origen que se envían a sí mismas (o $\{0\}$ ) en el marco de la acción $x\mapsto Ax$ . La acción $y\mapsto yA$ para los vectores en fila corresponde a una acción de $A$ en los hiperplanos: cada fila de vectores $y$ define un hiperplano $H$ dado por $H=\{\text{column vectors }x: yx=0\}$ . La acción $y\mapsto yA$ envía el hiperplano $H$ definido por $y$ a un hiperplano $H'$ dado por $H'=\{x: Ax\in H\}$ . (Esto es porque $(yA)x=0$ iff $y(Ax)=0$ .) Un eigenvector izquierdo para $A$ entonces, corresponde a un hiperplano fijado por esta acción.
El conjunto de eigenvectores izquierdos y eigenvectores derechos juntos forman lo que se conoce como una pareja de base dual y base.
http://en.wikipedia.org/wiki/Dual_basis
En términos más sencillos, si organizas los vectores propios de la derecha como columnas de una matriz B, y organizas los vectores propios de la izquierda como filas de una matriz C, entonces BC = I, en otras palabras B es el inverso de C
¿Estás seguro de que eso es correcto? $BC=I$ ? No encuentro un contraejemplo pero tampoco veo cómo demostrarlo.
Este es un ejemplo: las columnas de $P$ y las filas de $P^{-1}$ Cuando diagonalizamos una matriz. - es.wikipedia.org/wiki/Matriz_diagonalizable#Diagonalización
Geométricamente la matriz $A$ es una transformación que preserva el origen y la línea ( ${\bf v}\mapsto A\cdot{\bf v}$ ). Los vectores propios de la derecha son vectores propios para esta transformación, pero los de la izquierda para $A^T$ que, geométricamente puede ser totalmente diferente.
Sin embargo, los valores propios y las dimensiones de sus correspondientes espacios propios deben permanecer iguales.
Usando $A$ ya que una transformación lineal a la derecha o a la izquierda produce (en general) dos transformaciones completamente diferentes del espacio vectorial.
Estas dos transformaciones tienen sus propios vectores propios, que pueden no tener nada que ver entre sí.
El significado geométrico de los vectores propios es: se encuentran en subespacios que se extienden por $A$ pero no se inclina en absoluto.
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