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Mínimo común múltiplo de 3 ecuaciones modulares

i%7=1   ->  i=1+7n
i%9=2   ->  i=2+9n
i%11=3  ->  i=3+11n

Además de escribir todo:

1,8,15,22...
2,11,20,29...
3,14,25,36...

para encontrar el LCM. ¿Hay alguna forma mejor de hacerlo?

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Oli Puntos 89

En general, se debe utilizar el Teorema chino del resto.

Sin embargo, para estos particular números, ¡hay un truco! Obsérvese que las congruencias son equivalentes a 2x+5\equiv 0\pmod{7} , 2x+5\equiv 0\pmod{9} y 2x+5\equiv 0\pmod{11} . Así que queremos 2x+5 sea divisible por 7 , 9 y 11 y, por lo tanto, por (7)(9)(11) que es 693 . Así que 2x+5=693 funcionará. Eso da x=344 .

Observación: Si no estás familiarizado con la notación de congruencia, observa las secuencias de números que has producido. Nos concentraremos en la primera, que fue 1,8,15,22,\dots (hubo un leve error tipográfico).

Doble estos, y añadir 5 . Obtenemos 7,21, 35, 49,\dots , los múltiplos Impares de 7 . Del mismo modo, al duplicar los números de la segunda secuencia, y sumar 5 , se obtienen los múltiplos de impar de 9 . Un tratamiento similar a la tercera secuencia permite obtener los múltiplos Impares de 11 . Así que queremos 2x+5 para ser un múltiplo impar de (7)(9)(11) . El menor positivo es 693 . Así que ahora resuelve 2x+5=693 .

También se puede llevar a cabo el mismo argumento utilizando el lenguaje de los restos. Queremos (2x+5)\%7=0 , (2x+5)\%9=0 y (2x+5)\%11=0 .

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Pensé que el OP quería el menor número que satisficiera las tres relaciones, y por eso sugerí el CRT. Estoy de acuerdo en que es bastante confuso.

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@MJD: Es casi seguro que tienes razón. Hay que reformular un poco la pregunta.

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David HAust Puntos 2696

\begin{eqnarray}\rm {\bf Hint} &&\rm\qquad\ x &\equiv&\rm n\pmod{2n\!+\!5},\ \ n = 1,2,3\\ \Rightarrow &&\rm\ 2x\!+\!5 &\equiv&\rm 0\pmod{2n\!+\!5},\ \ n = 1,2,3 \end{eqnarray}

Así, \rm\:7,9,11\: |\: 2x\!+\!5\:\Rightarrow\: lcm(7,9,11) = 693\:|\:2x\!+\!5.\:

Por lo tanto, \rm\ mod\ 693\!:\,\ x \,\equiv\, \dfrac{-5}2\,\equiv\, \dfrac{693-5}2 \,\equiv\, 344.

Nota: La idea se generaliza: véase CCRT para congruencias en A.P. (Progresión Aritmética).

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