Cuadrática suma de enteros de Gauss

Question

Que $A$ ser un conjunto, definir $nA=\{x\mid x=a_1+a_2+\cdots a_k,a_i\in A,1\leq k\leq n\}$.

Indicar $G=\{z\mid z=(a+bI)^2,a,b\in \mathbb Z,I=\sqrt{-1}\},K=\{z\mid z=a+2bI,a,b\in \mathbb Z,I=\sqrt{-1}\}$

¿Cuál es el más pequeño número entero $n$ tal que $K=nG$ (si existen)?

Teorema de cuatro cuadrados de Lagrange Estados que cualquier número natural puede representarse como la suma de cuatro cuadrados de enteros: $a=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2,$ por lo tanto, $a+2bI=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+b\cdot(1+I)^2$.

$a+bI~(2\not\mid b)$ no se puede representar como la suma de varios enteros cuadrados, porque $2\mid \Im(x+yI)^2=2xy$.

Answer 1

Si $a$ es extraño que necesitamos en la mayoría de los dos, porque $$ a+2bi=1\cdot(a+2bi)=u_1u_2 $$ es una factorización en partes $u_1=1$ $u_2=a+2bi$ tal que $u_1\pm u_2$ tienen incluso partes real e imaginaria. Esto significa que podemos resolver por $z_1$ $z_2$ a partir de $$ u_1u_2=z=z_1^2+z_2^2=(z_1+iz_2)(z_1-iz_2) $$ (utilizando el ansatz $u_1=z_1+iz_2$, $u_2=z_1-iz_2$) como $$ z_1=\frac{u_1+u_2}2=\frac{a+1}2+bi,\qquad z_2=\frac{u_1-u_2}{2i}=-b+i\frac {- 1}2. $$

Y si $a$ es incluso necesario en la mayoría de uno más, porque $a-1$ es entonces extraño.

Así que en este punto tenemos $n\le3$.

A mí me parece $z=2+2i$ no puede ser escrito como suma de dos cuadrados (estudio de las partes real e imaginaria modulo cuatro y revisar todos los casos), lo que significa que $n=3$ es la respuesta.

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Edit: También podemos comprobar que no factorización de $2+2i=-i(1+i)^3$ conduce a una factorización con ambos factores a tener la misma paridad en sus partes real e imaginaria. Trabajando en el anterior truco hacia atrás, se muestra que no puede ser escrito como suma de dos cuadrados. Mis pruebas sugiere que $z=a+2bi$ es una suma de dos cuadrados de Gauss, a menos que sus partes real e imaginaria son tanto congruente a $2$ modulo $4$.

Answer 2

(Esto no es una respuesta completa, pero demasiado largo para un comentario)

Reclamo: $n\leq 8$.

Dadas $a+2bi\in\mathbb Z[i]$ $a,b\in\mathbb Z$. Por Teorema de Langrange, tenemos: $$|a|=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ $ $$|b|=y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2$ $ $x_i,y_i\in\mathbb Z$. Ahora, definir $$c_a=\begin{cases}1&a\geq 0\\i&a<0\end{cases}\qquad c_b=\begin{cases}1+i&b\geq 0\\1-i&b<0\end{cases}$ $ entonces $$ \begin{align} &\quad (c_ax_1)^2+(c_ax_2)^2+(c_ax_3)^2+(c_ax_4)^2+(c_by_1)^2+(c_by_2)^2+(c_by_3)^2+(c_by_4)^2 \\ &=c_a^2\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\right) + c_b^2\cdot\left(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2\right) \\ &=c_a^2\cdot |a| + c_b^2\cdot |b| \\ &=a+2bi \end{Alinee el} $ (comprobar, que la última ecuación sostiene para los cuatro casos de $(c_a,c_b)$.)