Condiciones suficientes que $f' = O(f(x)/x)$.

Question

Supongamos que $f$ una función de valor real no negativa, no disminuyendo, $O(x^m)$ $m \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}$ y $C^1$, $f'$ siendo monótono y no negativo. ¿Esta condición suficiente que $f'(x) = O(f(x)/x)$ $x\to +\infty$?

Me lleve estas hipótesis de casos conocidos, como el $\sqrt[3]{x}$, $\sqrt{x}\log{x}$, $x/{\log{x}}$, etc., pero no pudo demostrarlo en general, ni suponiendo $f = O(x)$ y $f'$ limitada.

Answer 1

[OP cambió la pregunta ya que esta respuesta fue publicada]

¿Conoces $f(x)=e^x$? Es una función lisa de nondecreasing no negativa con $f'(x)=e^x$ que es monótono y no negativo, pero $$e^x\ne O(e^x/x)$ $

Answer 2

Una de tales condiciones es que el $f$ ser continua y diferenciable en todas partes y que $f'$ ser localmente integrable y han regular la variación en el infinito.

Deje $\alpha \in \mathbb{R}$ Una función de $g$ dice que es regular la variación de índice de $\alpha$ al infinito si para todas las $y > 0$,

$$\lim_{x \to + \infty} \frac{g(xy)}{g(x)} = y^\alpha.$$

Se dice que tiene una variación regular (en el infinito) si es de regular la variación de índice de $\alpha$ algunos $\alpha \in \mathbb{R}$. Las funciones regulares de la variación del índice de $0$ también son llamados funciones con variación lenta.

Por ejemplo, las funciones racionales tienen regular de variación (de índice entero); logaritmos han lenta variación ; $x \mapsto x^\alpha$ tiene regular la variación de índice de $\alpha$; los productos de las funciones regulares de la variación regular de variación...

A continuación, el resultado se sigue de Karamata del teorema.

Tenga en cuenta que regular la variación de la frecuencia incluye una medición de la condición, que siempre es cierto para un derivado. Yo creo que se puede hacer sin el "localmente integrable" estado aquí, pero no tengo la Bingham-Goldie-Teugels conmigo para comprobar.