Lindo Determinante Pregunta

Question

Me encontré con el siguiente problema y parecía simpático.

Problema: se Nos da ese $19$ divide $23028$, $31882$, $86469$, $6327$, y $61902$. Mostrar que $19$ se divide de la siguiente determinante:

$$\left| \begin{matrix} 2 & 3&0&2&8 \\ 3 & 1&8&8&2\\ 8&6&4&6&9\\ 0&6&3&2&7\\ 6&1&9&0&2 \end{de la matriz}\right|$$

Answer 1

Multiplicar la primera columna por $10^4$, el segundo por $10^3$, la tercera por $10^2$ y el cuarto por $10$ - esta escala el valor del determinante por $10^{4+3+2+1}=10^{10}$, que es coprime a $19$. Ahora agregue las cuatro últimas columnas de la primera - esto no va a cambiar el valor de la determinante. Por último aviso de la primera columna ahora dice $23028, 31882, 86469, 6327$, e $61902$: cada uno es un múltiplo de a$19$, por lo que podemos factor de diecinueve limpiamente fuera el factor determinante.

Answer 2

Si el determinante es $0$ es obvio que $19|0$. Supongamos ahora que el determinante no es $0$.

$$\begin{align*} 2\cdot10^4+3\cdot10^3+0\cdot10^2+2\cdot10+8\cdot1&=23028\\ 3\cdot10^4+1\cdot10^3+8\cdot10^2+8\cdot10+2\cdot1&=31882\\ 8\cdot10^4+6\cdot10^3+4\cdot10^2+6\cdot10+9\cdot1&=86469\\ 0\cdot10^4+6\cdot10^3+3\cdot10^2+2\cdot10+7\cdot1&=06327\\ 6\cdot10^4+1\cdot10^3+9\cdot10^2+0\cdot10+2\cdot1&=61902 \end{align*}$$

Por la regla de Cramer

$$1=\frac{\left|\begin{matrix} 2 & 3 & 0 & 2 & 23028 \\ 3 & 1 & 8 & 8 & 31882 \\ 8 & 6 & 4 & 6 & 86469 \\ 0 & 6 & 3 & 2 & 06327 \\ 6 & 1 & 9 & 0 & 61902 \end{de la matriz}\right|}{\left|\begin{matrix} 2 & 3 & 0 & 2 & 8 \\ 3 & 1 & 8 & 8 & 2 \\ 8 & 6 & 4 & 6 & 9 \\ 0 & 6 & 3 & 2 & 7 \\ 6 & 1 & 9 & 0 & 2\end{de la matriz}\right|}$$

Entonces

$$\left|\begin{matrix} 2 & 3 & 0 & 2 & 8 \\ 3 & 1 & 8 & 8 & 2 \\ 8 & 6 & 4 & 6 & 9 \\ 0 & 6 & 3 & 2 & 7 \\ 6 & 1 & 9 & 0 & 2\end{de la matriz}\right|=\left|\begin{matrix} 2 & 3 & 0 & 2 & 23028 \\ 3 & 1 & 8 & 8 & 31882 \\ 8 & 6 & 4 & 6 & 86469 \\ 0 & 6 & 3 & 2 & 06327 \\ 6 & 1 & 9 & 0 & 61902 \end{de la matriz}\right|$$

Pero el último determinante es, obviamente, divisible por $19$.

Answer 3

Entero de la prueba

Realizar las operaciones de columna $C_5\leftarrow 10^4C_1+10^3C_2+10^3C_3+10C_4+C_5$: el coeficiente de $C_5$$1$, por lo que esto no cambia el determinante.

Todos los elementos de $C_5$ ($23028$, $31882$, $86469$, $6327$, y $61902$) son ahora divisible por $19$, por lo que podemos factor $19$: por lo tanto, el determinante es divisible por $19$.

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Modular de prueba

En $\mathbb Z/19\mathbb Z$, las columnas $10^4C_1+10^3C_2+10^3C_3+10C_4+C_5$ total $0$: por lo tanto, la matriz no es invertible, y ha determinante $0$. Así, en $\mathbb Z$, el factor determinante es un múltiplo de a $19$.