Creo que es más fácil de entender esto si uno tiene una comprensión mínima de la QFT. No estoy seguro acerca de su conocimiento de fondo, pero esperemos que esto no es un galimatías.
El Lagrangiano de QCD para la masa quarks está dada por,
\begin{equation}
{\cal L} = - g \sum_i \bar{\psi} _i A _\mu \gamma ^\mu \psi _i - \frac{1}{4} F _{ \mu \nu } F ^{ \mu \nu }
\end{equation}
donde los campos son, $ A _\mu $$ \psi _i $. La única constante en la ecuación de la constante de acoplamiento, $g$. Por lo tanto, vemos que no hay una sola escala en el Lagrangiano. Ingenuamente se podría decir que la teoría es la escala invariante.
Sin embargo, no es una sutileza. No hemos especificado totalmente la teoría. Todavía tenemos que decir cuál es el valor de la constante de acoplamiento es. El problema es que el QFT hace que la fuerza de una interacción a depender de la magnitud que se mide. Por suerte, sabemos cómo calcular un acoplamiento cambia con la escala (esto se hace cada año completo QFT,por supuesto),
\begin{equation}
\frac{ d \alpha }{ d \log \mu } = - \frac{ b }{ 2\pi } \alpha ^2
\end{equation}
donde, $ \alpha \equiv g ^2/4 \pi $ $ b $ son calculables números. Para QCD con el SM fermiones tenemos,
\begin{equation}
b = 7
\end{equation}
Desde aquí es fácil resolver la ecuación diferencial anterior y obtener el acoplamiento, como una función de la escala, $ \mu $,
\begin{align}
\frac{1}{ \alpha ( \mu ) } &= \frac{1}{ \alpha ( \mu _0 ) } - \frac{ b }{ 2\pi } \log \frac{ \mu }{ \mu _0 } \\
\alpha_s (\mu) &= \frac{ \alpha _s ( \mu _0 ) }{ 1 + \alpha _s ( \mu _0 ) \frac{ b }{ 2\pi } \log \frac{ \mu }{ \mu _0 } }
\end{align}
Por lo tanto, podemos medir el acoplamiento en algunos escala y, a continuación, saben lo que es en cada escala. Como se señaló en el OP, ya podemos ver la rotura de la invariancia de escala desde los acoplamientos dependen de la escala.
Ahora pasamos a la relación con el $ \Lambda_{QCD} $. Este es convencionalmente se define como la escala, cuando el acoplamiento se convierte en infinito. A partir de la ejecución anterior, podemos ver que este se produce cuando,
\begin{equation}
\mu \equiv \Lambda_{QCD} = \mu _0\exp \left[ - \frac{ 2\pi }{ b \alpha _s ( \mu _0 ) } \right]
\end{equation}
Aquí vemos que la escala sólo depende del contenido del campo (a través de $b$) y Naturalezas elección para el acoplamiento.
