Cómo probar $\cosh(x) \ge 1$ sin la identidad de $\cosh^2x-\sinh^2x=1$

Question

Creo que es bastante fácil, quizás uno incluso tonta, pero todavía no puedo encontrar una buena manera de resolverlo.

Cómo probar que $\forall x . \cosh(x) \ge 1$, sin usar la identidad: $\cosh^2x-\sinh^2x=1$ y no sin usar derivados.

es la defenition de $\cosh(x)$: $\frac{e^x+e^{-x} }{2}$

Demostrado ya que el uso de la identidad, pero me pregunto si hay otra manera. Lamentablemente, no pude encontrar una prueba con el motor de búsqueda, a pesar de es una pregunta muy básica.

¡agradecería su ayuda!

Answer 1

Tiene por definición 2$$\cosh x=\frac12(e^x+e^{-x})\;,$u$ so it suffices to show that $u+u^{-1}\ge $. But this is an easy consequence of the fact that for any positive real number $$, $e^x+e^{-x}\ge 2$. To see this, note that the desired inequality is equivalent to $$\frac{u^2+1}u\ge 2$$ and hence to $u^2+1\ge 2u$, or $u^2-2u+1\ge 0$. But this is clearly true, since $$u^2-2u+1=(u-1)^2\;.$$ Reorganizing in logical order: for $u\ne 0$,

$$\begin{align*} u^2-2u+1=(u-1)^2\ge 0&\implies u^2+1\ge 2u\\ &\implies\frac{u^2+1}u\ge 2\\ &\implies u+\frac1u\ge 2\;, \end{align*} $$

y en particular, esto es cuando $u=\cosh x$ para cualquier % real $x$, ya que es claro de la definición que $\cosh x>0$ % todos $x$.

Answer 2

$\small e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3! +x^4/4! +... $ Nos tener también $$\small \cosh(x)={(e^x+e^{-x})\over 2}=1 + x^2/2! + x^4/4! + \ldots \ge 1 $ $ para todos los x reales sólo agregando la representación oficial de la serie para x y - x termwise, donde desaparecen los términos en exponentes impares de x debido a la señal alterna.

Answer 3

Por definición, $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$. Tomando la derivada, obtenemos $\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $0$ cuando $x=0$, positivo cuando $x>0$ y negativa cuando $x<0$. Así $x=0$ es un mínimo de la función y $\cosh 0=1$.