¿Cuál es el significado de $\oplus$ y $\otimes$ ?

Question

Estoy luchando por entender completamente alguna notación en un libro en el que utilizan un símbolo de "retícula" - primero como $\bigoplus\limits_{i=1}^n{} Z_j $ donde el $Z_j$ son matrices y la segunda como $I_n \otimes \Phi$ donde $I_n$ y $\Phi$ son ambas matrices.

El libro trata de estadística multivariante y la sección es sobre modelos de coeficientes aleatorios. No hay un apéndice de notación/terminología al que referirse. Iba a publicar una foto digital de la página para que los usuarios puedan ver el contexto (esto es al principio de la sección).

Entonces, ¿es esto un tema aquí o debería publicarlo en math.se?

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Actualización: originalmente publiqué esto en meta.se y fue migrado aquí. Ahora adjunto la foto de la página correspondiente del libro.

Answer 1

En las estadísticas, $$A\oplus B:=\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B \end{array} \right]$$ y (por ejemplo, para un $2\times 2$ -matriz $A$ ) $$A\otimes B:=\left[\begin{array}{cc}a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{array} \right].$$

Se centra en las matrices para su uso en estadística como matrices de diseño o de hipótesis, etc., donde estas notaciones simplifican la estructura de bloques frecuentes de dichas matrices. Se puede encontrar el nombre Suma de Kronecker para $\oplus$ y Producto Kronecker para $\otimes$ especialmente en los manuales de los programas informáticos de estadística. (También es muy útil la multiplicación matricial por componentes $A\#B=[a_{ij}b_{ij}]_{i,j}$ para matrices de igual forma. A veces se llama producto de Hadamard).

En matemáticas, $\oplus$ y $\otimes$ tienen su significado típico ligeramente diferente como suma directa o producto tensorial de espacios vectoriales o incluso estructuras algebraicas más generales.