Mi sospecha es "no", porque si recuerdo correctamente el mapa de $I \to V \otimes V^*$ naturalmente tierras en el inyectiva producto tensor, no la proyectiva producto tensor, y es el último que aparece como la `correcta" producto tensor para el SMC de la categoría de los espacios de Banach y lineal de las contracciones.
En el juguete ejemplo, $V\oplus V$ con el sup norma es la misma que continua mapas a partir de una 2-punto de ajuste a $V$, equipado con sup-norma, y estoy bastante seguro de que este es, de hecho, isométricamente linealmente isomorfo a ${\mathbb R}^2 \check{\otimes} V$ es decir, el inyectiva producto tensor.
EDIT: como Reid señala mis comentarios anteriores asumen sin justificación que el inj. t.p. no difieren de los proyec t.p. en el caso específico de ser considerada. Yo creo que este es de hecho el caso. Tome $V$ ${\mathbb R}^2$ con la costumbre de norma Euclídea. El proyectiva producto tensor de $V$ $V^\*$ puede ser identificado con $M_2({\mathbb R})$ equipada con la clase de seguimiento de la norma; la inyectiva producto tensor llevaría a la `misma' subyacente espacio vectorial, equipado con el operador de la norma. El 2 x 2 matriz identidad tiene traza de la norma de clase 2 y operador de la norma 1, de modo que las dos normas son realmente distintas.
Mi respuesta no es tan clara como debería ser, ya que debido a un lento y temperamental conexión a internet estoy teniendo problemas para buscar sólo lo que los axiomas categóricas duales en un SMC. Pero si recuerdo correctamente el natural mapa de $I \to V \otimes V^\*$ debe ser dada por la multiplicación de un escalar por el vector $e_1\otimes e_1 + e_2\otimes e_2$ donde $e_1,e_2$ es una o.n. base de ${\mathbb R}^2$ - y que el vector no tiene norma 1 en el proj t.p. a pesar de que tiene norma 1 en el inj t.p.
