Probabilidad de que lanzar el mismo multiset dos veces en una fila con los seis dados

Question

Seis dados son lanzados. Los seis dados se lanzan una segunda vez. ¿Cuál es la probabilidad de obtener los mismos números que en el primer tiro? Si importa el orden de los seis números, el problema es fácil, pero si el orden no importa, me encuentro en apuros, porque debe considerar muchos casos dependiendo del número de números repetidos y no sé cómo proceder.

Answer 1

El número de $a_n$ favorables para eventos $n$ $n$-caras de los dados es OEIS secuencia A033935. Hay una fórmula que allí se indican,

$$a_n=[x^n]n!^2\left(\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!^2}\right)^n$$

(donde $[x^n]$ denota la extracción del coeficiente de $x^n$), que es una declaración sucinta de la quizás más obvio fórmula

$$a_n=\sum_{1n_1+2n_2+\dotso+kn_k=n}\frac{n!}{(n-(n_1+\dotso+n_k))!}\frac1{n_1!\cdots n_k!}\left(\frac{n!}{1!^{n_1}\cdots k!^{n_k}}\right)^2\;,$$

donde si tenemos $n_j$ grupos de $j$ idénticos a los dados cada uno, el primer factor da el número de formas de asignación de valores a los grupos, el segundo factor explica el hecho de que no importa el grupo al que se asigna un valor para el tiempo que tiene un cierto número de dados, y el tercer factor que da el número de favorable eventos para cada tarea, que es el cuadrado del número de distintas permutaciones de los dados le dio la asignación.

Answer 2

Basado inicialmente en la mesa de Mark Dominus, haz

Pattern  Ways Different Ways/Different  (Ways/Different)^2  Ways^2/Different
AAAAAA      6     6         1                1                    6
AAAAAB    180    30         6               36                 1080
AAAABB    450    30        15              225                 6750
AAAABC   1800    60        30              900                54000
AAABBB    300    15        20              400                 6000
AAABBC   7200   120        60             3600               432000
AAABCD   7200    60       120            14400               864000
AABBCC   1800    20        90             8100               162000
AABBCD  16200    90       180            32400              2916000
AABCDE  10800    30       360           129600              3888000
ABCDEF    720     1       720           518400               518400
Sum     46656   462      1602           708062              8848236

Y la respuesta es $\dfrac{8848236}{46656^2} \approx 0.0040648\ldots$

Nota, como sugiere el joriki, que $8848236$ es el término sexto de OEIS A033935, aunque si usas un número de dados de seis caras entonces OEIS A169715 es más relevante.