¿Hay otra forma de escribir el producto $\prod_{k=0}^n\left(k+\alpha\left(-1\right)^{k+1}\right)$?

Question

Tengo la siguiente expresión

$$ \prod_{k=0}^n \left(k + \alpha(-1)^{k+1}\right), $$

que es, por ejemplo, $(0-\alpha)(1+\alpha)(2-\alpha)$ $n = 2$. ¿Hay una manera de escribir algo así como un factorial, usando en lugar de utilizar la notación de Pi grande (o, del mismo modo, una suma)?

Se trata de una tarea; Estoy seguro de la forma actual que he dado es aceptable, pero tengo curiosidad si hay otras formas agradables.

Answer 1

Se puede volver a escribir la expresión en términos de la función gamma $\Gamma(z)$ o el llamado símbolo de Pochhammer $$(z)_n=\frac{\Gamma(z+n)}{\Gamma(z)}=z(z+1)\ldots (z+n-1)=\prod_{k=0}^{n-1}(z+k).$$

Consideremos primero el caso de la extraña $n=2m-1$$m\in\mathbb{Z}_{>0}$. El producto puede entonces escribirse como \begin{align} \prod_{k=0}^n\left(k+\alpha\left(-1\right)^{k+1}\right)&=\prod_{k=0}^{m-1}\left(2k-\alpha\right)\times \prod_{k=0}^{m-1}\left(2k+1+\alpha\right)=\tag{1}\\ &=2^{2m}\times\prod_{k=0}^{m-1}\left(-\frac{\alpha}{2}+k\right)\times \prod_{k=0}^{m-1}\left(\frac{1+\alpha}{2}+k\right)=\\ &=2^{2m}\left(-\frac{\alpha}{2}\right)_m\left(\frac{1+\alpha}{2}\right)_m=\\ &=2^{2m}\frac{\Gamma\left(-\frac{\alpha}{2}+m\right)\Gamma\left(\frac{1+\alpha}{2}+m\right)}{\Gamma\left(-\frac{\alpha}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+\alpha}{2}\right)}. \end{align} Incluso para $n$, el primer producto de (1) contiene un factor más, pero el resto de las manipulaciones es completamente análogo. Los resultados para ambos pares e impares $n$ pueden ser combinadas en una sola fórmula \begin{align} \prod_{k=0}^n\left(k+\alpha\left(-1\right)^{k+1}\right)&=2^{n+1}\left(-\frac{\alpha}{2}\right)_{\lfloor{\frac{n}{2}+1}\rfloor}\left(\frac{1+\alpha}{2}\right)_{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor}=\\ &=2^{n+1}\frac{\Gamma\left(-\frac{\alpha}{2}+\lfloor{\frac{n}{2}+1}\rfloor\right)\Gamma\left(\frac{1+\alpha}{2}+\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor\right)}{\Gamma\left(-\frac{\alpha}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1+\alpha}{2}\right)}. \end{align}