Probar si $g$ tiene un punto fijo en $(0,1)$, entonces el $g^{\prime}(1) > 1$.

Question

Deje $g : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ dos veces diferenciable con $g^{\prime \prime}(x) > 0$ todos los $x \in [0,1]$. Supongamos que $g(0) > 0$$g(1) = 1$. Probar si $g$ tiene un punto fijo en $(0,1)$,$g^{\prime}(1) > 1$.

Mi intento: Definir una función $h(x)=g(x)-x$. Desde $g$ tiene un punto fijo, decir $c \in (0,1)$,$h(c)=g(c)-c=0$.

Observe que hemos $h(c)=h(1)=0$, por el Teorema de Rolle, existe $d \in (c,1)$ tal que $h^{\prime}(d)=0$

La aplicación de Decir Teorema del Valor en $h$ $[d,1]$ existe $e \in (d,1)$ tal que $h^{\prime \prime}(e)=\frac{h^{\prime}(d)-h^{\prime}(1)}{c-1}$. Observe que hemos $h^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x) >0 $ todos los $x \in [0,1]$. Por lo tanto, $-h^{\prime}(1)<0 \implies g^{\prime}(1) > 1$

¿Alguien puede explicarme por qué necesitamos usar teorema de Rolle aquí?

Answer 1

No uso de Teorema de Rolle, desde $g^{\prime\prime}>0$, entonces el $g^{\prime}(x)$ es estrictamente creciente, también $g$ tiene un punto fijo c en $(0,1)$ y $1$ es fija punto $g$, podemos utilizar el teorema de Mvt solamente. ($\frac{g(1)-g(c)}{1-c}=g^{\prime}(t)=1,t\in(c,1)$). Por supuesto me refiero a $g^{\prime}(1)$ $\lim_{x\to1^-}g^{\prime}(x)$ porque es $1$ $[0,1]$.

Answer 2

Teorema de Rolle nos permite obtener una raíz de $h'$ en algún momento mentira izquierda a $1$ que ayuda a concluir el resultado usando la monotonía estricta de $h'$ (desde $h''>0$ $[0,1]\implies h'$ está aumentando terminantemente en $[0,1]$)